環面曲線（toric section）是平面和環面相交形成的曲線，正如圓錐曲線是圓錐面和平面相交而成的。其方程為：
:
\left( x^{2} + y^{2} \right)^{2} + a x^{2} + b y^{2} + cx + dy + e = 0
它們都是四次曲線。
伯努利雙紐線
伯努利雙紐線（Lemniscate of Bernoulli）的方程為
:(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2)
求雙紐線的弧長需要應用橢圓積分。雙紐線可視為雙曲線的反演變換，反演圓心在双曲线的中心。
卡西尼卵形線
取兩個定點Q_1, Q_2為焦點。卡西尼卵形線（Cassini oval）是所有這樣的點P的軌跡：P和焦點的距離的積為常數（這類似橢圓的定義——點P和焦點的距離的和為常數）。即d(P,Q_1) \times d(P,Q_2) = b^2。
在直角坐標系，若焦點分別在(a,0)和(-a,0)，卵形線的方程可寫成：
:((x-a)^2+y^2)((x+a)^2+y^2)=b^4
:(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)+a^4=b^4
:(x^2+y^2+a^2)^2-4a^2x^2=b^4
在極坐標系：
:r^4-2a^2r^2 \cos 2\theta = b^4-a^4
卵形線經過反演變換，依然是卵形線。
卵形線的形狀由b/a的值決定。若b/a>1，軌跡是一個封閉的圈。若b/a，軌跡是兩個封閉的圈。若b/a=1，軌跡為伯努利雙紐線。
Hippopede曲線
Hippopede曲線（或Hippopede of Proclus）的極坐標方程為：
:r^2 = 4 b (a- b \sin^{2} \theta)
直角坐標系：
:\left(x^2+y^2 \right)^2+4b(b-a)(x^2+y^2)=4b^2x^2
當b=2a，Hippopede曲線為伯努利雙紐線。
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