等效位能

等效位能是將許多效應綜合成單一位能的數學表達式。在古典力學中，等效位能即為離心力位能與位能的和。等效位能常被用來計算行星的軌道及半古典的原子計算，可用來降低問題的維度。

定義
等效位能 U_\text{eff} 可定義如下：

U_\text{eff}(\mathbf{r}) = \frac{L^2}{2mr^2} + U(\mathbf{r})
:L 為角動量。
:r 為兩物體之距離。
:m 為繞行物體之質量。
:U(r) 為位能。

等效力，也就是等效位能的梯度取負號則為：

\begin{align}
\mathbf{F}_\text{eff} &= -\nabla U_\text{eff}(\mathbf{r}) \\
&= \frac{L^2}{mr^3}\hat{\mathbf{r}} - \nabla U(\mathbf{r})
\end{align}

其中 \hat{\mathbf{r}} 為r方向的單位向量。

特性
等效位能有許多有用的特性：

: U_\text{eff} \leq E

要找到一個圓形軌道的半徑，我們只要將等效位能對r取最小值，或是找r_0使總力為0：

: \frac{d U_\text{eff}}{dr} = 0
在解出r_0後，代回U_\text{eff}以求等效位能之最大值U_\text{eff}^\text{max}。

也可求得微小振盪之頻率：

: \omega = \sqrt{\frac{U_\text{eff}*}{m}}
其中角分符號代表對r的微分。

例子：重力位能
以質量為m的小天體繞行質量為M的大天體為例，並假設M遠大於m。在牛頓力學中，大天體的運動可被忽略，且能量E及角動量L守恆：

:E = \frac{1}{2}m\left(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\right) - \frac{GmM}{r},
:L = mr^2\dot{\phi} \,

其中

:\dot{r} 為r對時間的微分，
:\dot{\phi} 為小天體之角速度，
:G 為重力常數。

因為整個運動發生在一平面，所以我們只需要兩個變數r及\phi。將第二個式子代回第一個式子，整理之後可得

:m\dot{r}^2 = 2E - \frac{L^2}{mr^2} + \frac{2GmM}{r} = 2E - \frac{1}{r^2}\left(\frac{L^2}{m} - 2GmMr\right),
:\frac{1}{2}m\dot{r}^2 = E - U_\text{eff}(r),

其中

:U_\text{eff}(r) = \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GmM}{r}

即為等效位能。 如同上式所述，原問題的兩個變數被化簡成單變數的問題。在許多應用中，等效位能可視為一維系統的位能，譬如說用等效位能來決定轉折點及穩定平衡區。類似的方法可用來決定廣義相對論中史瓦西度規的軌道。

注释
参考资料

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