Kleene 星号，或稱Kleene 闭包，德语稱 Kleensche Hülle，在數學上是一種適用於字符串或符號及字元的集合的一元運算。當 Kleene 星号被應用在一個集合V時，寫法是V^*。它被廣泛用於正则表达式。
定義及標記法
假定
: V_0=\{\epsilon\}\,
递归的定义集合
: V_{i+1}=\{wv : w\in V_i \wedge v \in V\}\, 这里的 i \geq 0\,
如果 V 是一个形式语言，集合 V 的第 i 次幂是集合 V 同自身的 i 次串接的简写。
所以在 V 上的 Kleene 星号的定義是
V^*=\bigcup_{i=0}^{+\infty} V_i = \left \{\varepsilon \right\} \cup V \cup V^2 \cup V^3 \cup \ldots。就是说，它是从 V 中的符号生成的所有可能的有限长度的字符串的搜集。
例子
Kleene 星号應用於字符串集合的例子：
: {"ab", "c"}* = {ε, "ab", "c", "abab", "abc", "cab", "cc", "ababab", "ababc", "abcab", "abcc", "cabab", "cabc", "ccab", "ccc", ...}
Kleene 星号應用於字元集合的例子：
: {'a', 'b', 'c'}* = {ε, "a", "b", "c", "aa", "ab", "ac", "ba", "bb", "bc", ...}
推广
Kleene 星号经常推广到任何幺半群 (M, \circ)，也就是，一个集合 M 和在 M 上的二元运算 \circ 有着
- (闭包) \forall a,b \in M:~ a \circ b \in M
- (结合律) \forall a,b,c \in M:~ (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)
- (单位元) \exists \epsilon \in M:~ \forall a \in M:~ a \circ \epsilon = a = \epsilon \circ a
如果 V 是 M 的子集，则 V 被定义为包含 ε(空字符串)并闭合于这个运算下的 V 的最小超集。接着 V** 自身是幺半群，并被称为“V 生成的自由幺半群”。这是上面讨论的 Kleene 星号的推广，因为在某个符号的集合上所有字符串的集合形成了一个幺半群(带有字符串串接作为二元运算)。
参见
- 克莱尼代数
- 扩展巴科斯范式
- 泵引理
- 星号高度问题，广义星号高度问题，星号无关语言
- 正则表达式
參考文獻
The definition of Kleene star is found in virtually every textbook on automata theory. A standard reference is the following:
- 约翰·爱德华·霍普克洛夫特 and . Introduction to Automata Theory Languages and Computation. 1st edition. Addison-Wesley Publishing Company, 1979.
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