偶然對消

{{image frame|width=150|caption=微積分中偶然對消的例子|border=no|content=\begin{array}{l}
\;\;\; \dfrac {d} {dx} \dfrac{1}{x}
\\ = \dfrac {d} {d} \dfrac{1}{x^2}
\\ = \dfrac{d\!\!\!\backslash}{d\!\!\!\backslash} \dfrac{1}{x^2}
\\ = - \dfrac{1}{x^2}
\end{array}}}
偶然對消或異常對消（Anomalous cancellation）是指算術上不正確的處理，但其結果恰好是正確的。例如在化簡分數時直接將分子和分母各位數中相同的數字刪除，這不是正確的約分方法，大部份情形下得到的答案是錯的，但偶爾這樣的運算會出現正確的結果。

以下是一些偶然對消的例子，十進制下分子及分母都是二位數，分子及分母不相等，且皆非11的倍數，可以偶然對消的分數只有以下這些以及其倒數：

: \frac{64}{16} = \frac{\not64}{1\not6} = \frac{4}{1} = 4

: \frac{26}{65} = \frac{2\not6}{\not65} = \frac{2}{5}

: \frac{19}{95} = \frac{1\not9}{\not95} = \frac{1}{5}

: \frac{98}{49} = \frac{\not98}{4\not9} = \frac{8}{4} = 2

博厄斯（Ralph P. Boas, Jr）分析了其他進制下的偶然對消，例如4進制下，分子及分母不相等的二位數分數，偶然對消的例子只有32/13 = 2/1及其倒數。

二位以上的分數也會有偶然對消，例如165/462 = 15/42。

基本性质
若采用以素数p进位的数位表示法（也即p-进制数），则这种对消没有分子分母在两位数及以下的解。证明如下：反证假设存在这样的对消，不失一般性的，设这样的对消满足以下等式：

\frac{a||b}{c||a}=\frac{b}{c}

其中用双竖线表示两个数在数位上的拼接。这可以推出

\frac{ap+b}{cp+a}=\frac{b}{c}\implies (a-b)cp=b(a-c)

注意到 a, b, c都应该是p-进制下的一位整数，故必然有p|b(a-c)。而由b无法为0（否则对消后将原先非零的数变成了0），故唯一解满足a=c，同时这也将导出a=b。该情况下化简成立，但并非化到最简的情形。

相關條目
*數學笑話
*無效證明
參考資料