阻尼正弦波

阻尼正弦波（）是振幅會隨時間增長而趨向零的正弦波函數。

當諧振子消耗的能量比供應的能量多，其波形即為阻尼正弦波，此函數常用在科學及工程中。

定義
許多振動的現象可以用正弦波來描述，若振動系統中有阻尼，其振幅會隨著時間而減少。

真正的正弦波在時間為0時從原點開始（振幅為0），餘弦波和正弦波有相位差，在原點時有最大值。在實務上的弦波可能具有正弦及餘弦的份，因此「阻尼正弦波」也包括這些不同相位的弦波在有阻尼時的波形。

最常見的阻尼是指數衰減阻尼，其數個波峰形成的包絡線為指數衰減的曲線，一般也常假設阻尼是指數衰減阻尼的形式。

方程
指數衰减的弦波其方程如下：

:y(t) = A \cdot e^{-\lambda t} \cdot (\cos(\omega t + \phi) + \sin(\omega t + \phi))

其中
:y(t)為時間t的瞬時值
:A為包絡線的初始值
:\lambda為遞減常數，其單位是X軸時間的倒數
:\phi是特定點的相位角
:\omega是角頻率

可以簡化為
:y(t) = A \cdot e^{-\lambda t} \cdot (\cos(\omega t + \phi))

其中：
:\phi為t = 0的相位角

其他重要的參數有：
:週期\tau，是單一循環需要的時間，單位為時間t，是頻率的倒數，也就是f^{-1}。
:頻率f，是單位時間內的週期數，等於 \omega /(2 \pi) ，是週期的倒數，也就是\tau^{-1}，其單位是時間的倒數。
:半衰期是振幅包絡線減為原來一半需要的時間，等於\ln(2)/\lambda，大約是0.693/\lambda。
:阻尼比\zeta，是有關其衰減速率相對於頻率的無因次特徵，近似於\zeta = \lambda / \omega，精確值為\zeta = \lambda / \sqrt{\lambda^2 + \omega^2} 。
:品質因子Q = 1 / (2 \zeta)，是另一個描述阻尼的無因次特徵，品質因子高表示阻尼相對於振盪的影響要小。

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參考資料