大Q勒让德多项式

大q-勒让德多项式是一个以基本超几何函数定义的正交多项式：

:\displaystyle P_n(x;c;q)={}_3\phi_2(q^{-n},q^{n+1},x;q,cq;q,q)

正交性
大q-勒让德多项式满足下列正交关系

\int_{cq}^{q}P_m(x;c;q)P_n(x;c;q)d_{q}x=q(1-c)\frac{1-q}{1-q^{2n+1}}\frac{(c^{-1}q;q)_n}{(cq;q)_n}(-cq^2)^{n}q^{n \choose 2}\delta_{mn}

极限关系
;大Q勒让德多项式→勒让德多项式

:\displaystyle\lim_{q \to 1} P_n(x;0;q)=P_n(2x-1)

令大q勒让德项式中的c=0,并且q→1 即得勒让德多项式

;验证

将c=0代人7阶(n=7)大q勒让德多项式得：

qL=P_n(x;0;q)=1+{\frac {q}{ \left( 1-q \right) ^{2}}}-{\frac {qx}{ \left( 1-q
\right) ^{2}}}-{\frac {{q}^{9}}{ \left( 1-q \right) ^{2}}}+{\frac {x{
q}^{9}}{ \left( 1-q \right) ^{2}}}-{\frac {1}{{q}^{6} \left( 1-q
\right) ^{2}}}+{\frac {x}{{q}^{6} \left( 1-q \right) ^{2}}}+{\frac {{
q}^{2}}{ \left( 1-q \right) ^{2}}}-{\frac {x{q}^{2}}{ \left( 1-q
\right) ^{2}}}+ \left( 1-{q}^{-7} \right) \left( 1-{q}^{-6} \right)
\left( 1-{q}^{8} \right) \left( 1-{q}^{9} \right) \left( 1-x
\right) \left( 1-qx \right) {q}^{2} \left( 1-q \right) ^{-2} \left(
1-{q}^{2} \right) ^{-2}+ \left( 1-{q}^{-7} \right) \left( 1-{q}^{-6}
\right) \left( 1-{q}^{-5} \right) \left( 1-{q}^{8} \right) \left(
1-{q}^{9} \right) \left( 1-{q}^{10} \right) \left( 1-x \right)
\left( 1-qx \right) \left( 1-x{q}^{2} \right) {q}^{3} \left( 1-q
\right) ^{-2} \left( 1-{q}^{2} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{3}
\right) ^{-2}+ \left( 1-{q}^{-7} \right) \left( 1-{q}^{-6} \right)
\left( 1-{q}^{-5} \right) \left( 1-{q}^{-4} \right) \left( 1-{q}^{8
} \right) \left( 1-{q}^{9} \right) \left( 1-{q}^{10} \right)
\left( 1-{q}^{11} \right) \left( 1-x \right) \left( 1-qx \right)
\left( 1-x{q}^{2} \right) \left( 1-x{q}^{3} \right) {q}^{4} \left( 1
-q \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{2} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{3}
\right) ^{-2} \left( 1-{q}^{4} \right) ^{-2}+ \left( 1-{q}^{-7}
\right) \left( 1-{q}^{-6} \right) \left( 1-{q}^{-5} \right)
\left( 1-{q}^{-4} \right) \left( 1-{q}^{-3} \right) \left( 1-{q}^{8
} \right) \left( 1-{q}^{9} \right) \left( 1-{q}^{10} \right)
\left( 1-{q}^{11} \right) \left( 1-{q}^{12} \right) \left( 1-x
\right) \left( 1-qx \right) \left( 1-x{q}^{2} \right) \left( 1-x{q
}^{3} \right) \left( 1-x{q}^{4} \right) {q}^{5} \left( 1-q \right) ^{
-2} \left( 1-{q}^{2} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{3} \right) ^{-2}
\left( 1-{q}^{4} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{5} \right) ^{-2}+
\left( 1-{q}^{-7} \right) \left( 1-{q}^{-6} \right) \left( 1-{q}^{-
5} \right) \left( 1-{q}^{-4} \right) \left( 1-{q}^{-3} \right)
\left( 1-{q}^{-2} \right) \left( 1-{q}^{8} \right) \left( 1-{q}^{9}
\right) \left( 1-{q}^{10} \right) \left( 1-{q}^{11} \right)
\left( 1-{q}^{12} \right) \left( 1-{q}^{13} \right) \left( 1-x
\right) \left( 1-qx \right) \left( 1-x{q}^{2} \right) \left( 1-x{q
}^{3} \right) \left( 1-x{q}^{4} \right) \left( 1-x{q}^{5} \right) {q
}^{6} \left( 1-q \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{2} \right) ^{-2} \left( 1
-{q}^{3} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{4} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{5}
\right) ^{-2} \left( 1-{q}^{6} \right) ^{-2}+ \left( 1-{q}^{-7}
\right) \left( 1-{q}^{-6} \right) \left( 1-{q}^{-5} \right)
\left( 1-{q}^{-4} \right) \left( 1-{q}^{-3} \right) \left( 1-{q}^{-
2} \right) \left( 1-{q}^{-1} \right) \left( 1-{q}^{8} \right)
\left( 1-{q}^{9} \right) \left( 1-{q}^{10} \right) \left( 1-{q}^{11
} \right) \left( 1-{q}^{12} \right) \left( 1-{q}^{13} \right)
\left( 1-{q}^{14} \right) \left( 1-x \right) \left( 1-qx \right)
\left( 1-x{q}^{2} \right) \left( 1-x{q}^{3} \right) \left( 1-x{q}^{
4} \right) \left( 1-x{q}^{5} \right) \left( 1-x{q}^{6} \right) {q}^{
7} \left( 1-q \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{2} \right) ^{-2} \left( 1-{q
}^{3} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{4} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{5}
\right) ^{-2} \left( 1-{q}^{6} \right) ^{-2} \left( 1-{q}^{7}
\right) ^{-2}

*qL2=\lim_{q \to 1}qL=-1+56\,x+3432\,{x}^{7}-12012\,{x}^{6}+16632\,{x}^{5}-11550\,{x}^{4}+
4200\,{x}^{3}-756\,{x}^{2}

另7阶勒让德多项式：
*P_7(2x-1)=-1+56\,x+3432\,{x}^{7}-12012\,{x}^{6}+16632\,{x}^{5}-11550\,{x}^{4}+
4200\,{x}^{3}-756\,{x}^{2}

显然qL2=P_7(2x-1) QED.

图集
下列复数域三阶大q勒让德多项式:\displaystyle P_n3(x+iy;-1.5;q) 的

一组三个虚数部、实数部与绝对值的复数三维动画图，以q为可变参数

一组三个虚数部、实数部与绝对值的复数密度动画图

参考文献
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