Verma模

Verma模（Verma module）是李代數表示理論中的基本研究對象，其名取自Daya-Nand Verma。Verma模之間的態射相應於旗流形上的不變微分算子。

可用Verma模來證明以下命題：最高權為\lambda的最高權表示的維數有限，若且僅若\lambda是支配整權（）。

Verma模的定義
設：
*F為一域；

• \mathfrak{g}，為F上一半單李代數；

**\mathcal{U}(\mathfrak{g})為其泛包絡代數
** \mathfrak{b}為其一Borel子代數
***\mathcal{U}(\mathfrak{b})為其泛包絡代數
** \mathfrak{h}為其一嘉當子代數

• \lambda \in \mathfrak{h}^*為一固定之權。
• F_\lambda為F上的一維向量空間， 賦與\mathfrak{b}-模結構：\mathfrak{h}的作用為「乘以\lambda」，正根的作用為零。由於F_\lambda是一左\mathfrak{b}－模，他同時亦是一左\mathcal{U}(\mathfrak{b})－模。

*由Poincaré-Birkhoff-Witt定理，\mathcal{U}(\mathfrak{g})有一自然右\mathcal{U}(\mathfrak{b})－模結構。由於\mathcal{U}(\mathfrak{g})亦是一左\mathfrak{g}－模， 所以是(\mathfrak{g}, \mathcal{U}(\mathfrak{b}))-雙模。
*定義（最高權為\lambda之）Verma模 為
: M_\lambda = \mathcal{U}(\mathfrak{g}) \otimes_{\mathcal{U}(\mathfrak{b})} F_\lambda
此自然地是一左\mathfrak{g}－模。從Poincaré-Birkhoff-Witt定理可知：M_\lambda，作為一向量空間，同構於
: \mathcal{U}(\mathfrak{g}_-) \otimes_F F_\lambda
其中\mathfrak{g}_-為\mathfrak{g}之負根生成之子李代數。

基本性質
作為\mathfrak{g}－模，Verma模是一最高權表示，即整個模由一最高權向量生成。此最高權向量是1\otimes 1的像（其中前1為\mathcal{U}(\mathfrak{g})之單位，後1為域F之單位元）；其權為\lambda。

Verma模是weight modules，即M_\lambda是其權子空間之直和。每一權子空間M_\mu是有限維的，其維度是M_\mu權\lambda-\mu寫成正根之和之方法之數（參見Kostant partition function）。

Verma模有一重要性質：若V為任一最高權模，其最高權為\lambda，則存在一\mathfrak{g} 滿射：M_\lambda\to V。換言之，任何最高權模都是M_\lambda的商模。

M_\lambda內存在唯一極大子模，而M_\lambda與此子模之商是不可約的。

Verma模M_\lambda本身不可約 若且僅若 當其最高權\lambda分解成基本權（）之和時，每一系數都不是\{0,1,2,\ldots\}。

稱Verma模M_\lambda為regular，若其最高權λ位於一支配權\tilde\lambda之仿射Weyl軌迹上。換言之，存在Weyl羣的元素w，使
:\lambda=w\cdot\tilde\lambda，
其中\cdot是Weyl羣的仿射作用。

稱Verma模M_\lambda為singular，若λ的仿射軌迹上無支配權。此時，存在權\tilde\lambda使\tilde\lambda+\delta落於基本Weyl室之牆上；（其 中δ為各基本權之和）。

Verma模之間的態射
設\lambda, \mu為兩權。若存在態射
:M_\mu\rightarrow M_\lambda，

則\mathfrak{g}的Weyl羣W的
仿射作用W必然能把\mu帶到\lambda。此為Harish-Chandra無限小中心特徵標定理之一推論。

每一Verma模 態射都是單射。態射空間之維度
:dim(Hom(M_\mu, M_\lambda))\leq 1

其中\mu, \lambda為任何兩權。因此，存在一非零態射M_\mu\rightarrow M_\lambda若且僅若M_\mu 同構於M_\lambda的一（唯一）子模。

Verma模態射的完整分類來自I.N.伯恩斯坦、I.M.蓋爾芳特 與S.I.蓋爾芳特 的工作與N. Verma的工作。簡言之，

存在非零態射
M_\mu\rightarrow M_\lambda若且僅若 存在一串權
::\mu=\nu_0\leq\nu_1\leq\ldots\leq\nu_k=\lambda

使得存在正根\gamma_i使\nu_{i-1}+\delta=s_{\gamma_i}(\nu_i+\delta)（其中s_{\gamma_i}是根反映（根系），而\delta是所有基本權之和）且對每一1\leq i\leq k，(\nu_i+\delta)(H_{\gamma_i})為一自然數（其中H_{\gamma_i}是根\gamma_i之對偶根（））。

若Verma模M_\mu與M_\lambda俱為regular，則僅存支配權\tilde\lambda與Weyl羣元w, w′使

:P\mu=w'\cdot\tilde\lambda

而且

:\lambda=w\cdot\tilde\lambda,

其中\cdot為Weyl羣的仿射作用。設此等權是整權（）。存在非零態射

:M_\mu\to M_\lambda

若且僅若，在Weyl羣W 的Bruhat次序中，

:w \leq w'。

Jordan-Holder序列
設
:0\subset A\subset B\subset M_\lambda
為一\mathfrak{g}－模序列，其中B/A為不可約表示，其最高權為μ。則存在非零態射M_\mu\to M_\lambda。

推論：
設V_\mu, V_\lambda為二最高權表示。若
:V_\mu\subset V_\lambda
則存在非零態射M_\mu\to M_\lambda。

伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特 分解
設V_\lambda為李代數\mathfrak{g}的一有限維不可約表示，其最高權為λ。我们已知：存在非零態射

:M_{w'\cdot\lambda}\to M_{w\cdot\lambda}

若且僅若，在其Weyl羣的Bruhat次序中，

:w\leq w'。

以下定理描述如何分解V_\lambda成Verma模的正合序列。
（此定理出現於 伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特1975年的論文）:

存在由\mathfrak{g}－態射組成的正合序列
:0\to \oplus_{w\in W,\,\, l(w)=n} M_{w\cdot \lambda}\to \ldots \to \oplus_{w\in W,\,\, l(w)=2} M_{w\cdot \lambda}\to \oplus_{w\in W,\,\, l(w)=1} M_{w\cdot \lambda}\to M_\lambda\to V_\lambda\to 0
其中n為Weyl羣最長元之長度。

一般研究員簡稱其為「BGG分解」。
廣義Verma模亦有類似分解。

近來有人研究此等分解之某些特例，以助理解拋物幾何（，嘉當幾何之特例）上之不變微分算子。嘉當幾何的定義依賴於一李羣G與其拋物子羣P。參閲、與。

參攷
*Knapp, A. W. Lie Groups Beyond an troduction. Second Edition. (2002), page 285.
*Dixmier, J., Enveloping Algebras, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1977
*Humphreys J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, 1980
*Roggenkamp K., Stefanescu M., Algebra - Representation Theory, Springer, 2002

註解
參見

• 李代數表示論
• 泛包絡代數
• 廣義Verma模
• 最高權表示