查普曼-科尔莫戈罗夫等式

在数学之概率论中，尤其是随机过程理论中，查普曼-科尔莫戈罗夫等式（）是一个重要的结论。它将一个随机过程的几个不同维的联合分布函数联系在一起。

假设 { fi } 是一个随机过程，即一个随机变量集合（每个元素对应一个只命名不排序的索引）。
记
:p_{i_1,\ldots,i_n}(f_1,\ldots,f_n)
为从f1到fn的各随机变量的联合分布函数，则查普曼-科尔莫戈罗夫等式为：

:p_{i_1,\ldots,i_{n-1}}(f_1,\ldots,f_{n-1})=\int_{-\infty}^{\infty}p_{i_1,\ldots,i_n}(f_1,\ldots,f_n)\,df_n

也就是说，这是一个直接定义在干扰随机变量上的条件概率。（注意这里各随机变量的顺序不重要）

该公式名称来自数学家西德尼·查普曼和安德雷·柯尔莫哥洛夫。

特化为马尔可夫链
如果随机过程特定为马尔可夫链，查普曼-科尔莫戈罗夫等式就是关于转移概率的公式。在马尔可夫链中，随机变量在一个按时间排序的数组i_1中。按马尔可夫性质（无记忆性质）,
:p_{i_1,\ldots,i_n}(f_1,\ldots,f_n)=p_{i_1}(f_1)p_{i_2;i_1}(f_2\mid f_1)\cdots p_{i_n;i_{n-1}}(f_n{\mid}f_{n-1}),
（其中条件概率p_{i;j}(f_i{\mid}f_j)是i>j时间的转移概率。查普曼-科尔莫戈罗夫等式简化为：
:p_{i_3;i_1}(f_3{\mid}f_1)=\int_{-\infty}^{\infty}p_{i_3;i_2}(f_3\mid f_2)p_{i_2;i_1}(f_2\mid f_1)df_2.

如果马尔可夫链的状态空间的概率分布是离散的，查普曼-科尔莫戈罗夫等式可表示为（可到无穷维的）矩阵相乘：

:P(t+s)=P(t)P(s)\,

（其中P(t)是转移矩阵，X_t是t时间的系统状态），则对于系统状态空间中的任意两个点i和j：

:P_{ij}(t)=P(X_t=j\mid X_0=i).

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