雷諾傳輸定理也稱為萊布尼茲-雷諾傳輸定理或雷諾输运定理，是以積分符號內取微分聞名的萊布尼茲積分的三維推廣。
雷諾傳輸定理得名自奧斯鮑恩·雷諾（1842–1912），用來調整積分量的微分，用來推導連續介質力學的基礎方程。
考慮在時變的區域\Omega(t)積分\mathbf{f} = \mathbf{f}(\mathbf{x},t)，其邊界為\partial \Omega(t)，考慮上式對時間的微分：
:
\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega(t)} \mathbf{f}~\text{dV} ~.
若要求上述積分的導數，會有兩個問題，\mathbf{f}的時間相依性，及因\Omega動態的邊界而增加或減少的空間，雷諾傳輸定理提供了必要的框架。
通用型式
雷諾傳輸定理可表為以下形式是：
:
\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega(t)} \mathbf{f}~\text{dV} =
\int_{\Omega(t)} \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial t}~\text{dV} + \int_{\partial \Omega(t)} (\mathbf{v}_{b}\cdot\mathbf{n})\mathbf{f}~\text{dA} ~
其中\mathbf{n}(\mathbf{x},t)為向外的單位法向量，\mathbf{x}為區域中的一點，也是積分變數，\text{dV} 及\text{dA}是位於\mathbf{x}的體積元素及表面元素，\mathbf{v}_{b}(\mathbf{x},t)為面積元素的速度而非流速。函數\mathbf{f}可以是張量、向量或純量函數。注意等式左邊的積分只是時間的函數，所以採用全微分符號。
針對流體塊的形式
在連續介質力學中，此定理常用在沒有物質進來或離開的流體塊或固體中。若\Omega(t)為一流體塊，則存在速度函數\mathbf{v}=\mathbf{v}(\mathbf{x},t)及邊界元素符合下式
:\mathbf{v}^{b}\cdot\mathbf{n}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}.
上式在替代後，可以得到以下的定理
:
\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\int_{\Omega(t)} \mathbf{f}~\text{dV}\right) =
\int_{\Omega(t)} \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial t}~\text{dV} + \int_{\partial \Omega(t)} (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\mathbf{f}~\text{dA} ~.
:
錯誤的引用
此定理常被錯誤的引用為只針對物质体积（material volume）的形式，若將只針對物质体积應用於物质体积以外的區域中，就會出現問題。
特別形式
若\Omega不隨時間改變，則\mathbf{v}_b=0，且恆等式化簡為以下的形式
:
\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega} f~\text{dV} =
\int_{\Omega} \frac{\partial f}{\partial t}~\text{dV} ~,
不過若用了不正確的雷諾傳輸定理，無法進行上述的簡化。
在一維下的詮釋及簡化
此定理是積分符號內取微分的高維延伸，有些情形下可以簡化為積分符號內取微分。假設f和y和z無關，且\Omega(t)為y-z平面的單位方塊，且有a(t)及b(t)的極限，雷諾傳輸定理會簡化為
:
\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{a(t)}^{b(t)} f~\text{dx} =
\int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial f}{\partial t}~\text{dx} +
\frac{\partial b(t)}{\partial t} f(b(t),t)
-\frac{\partial a(t)}{\partial t} f(a(t),t) ~,
上述是由積分符號內取微分來的表示式，但x及t變數已經對調。
相關條目
*積分符號內取微分
*
腳註
參考資料
L. G. Leal, 2007, Advanced transport phenomena: fluid mechanics and convective transport processes*, Cambridge University Press, p. 912.
O. Reynolds, 1903, Papers on Mechanical and Physical Subjects*, Vol. 3, The Sub-Mechanics of the Universe, Cambridge University Press, Cambridge.
J. E. Marsden and A. Tromba, 2003, Vector Calculus*, 5th ed., W. H. Freeman .
外部連結
- Osborne Reynolds, Collected Papers on Mechanical and Physical Subjects, in three volumes, published circa 1903, now fully and freely
available in digital format:[http://www.archive.org/details/papersonmechanic01reynrich Volume 1], [http://www.archive.org/details/papersonmechanic02reynrich Volume 2], [http://www.archive.org/details/papersonmechanic03reynrich Volume 3],
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