惠泰克函数

惠泰克函数，惠泰克1904推導合流超几何函数，是下列惠泰克方程的解

:\frac{d^2w}{dz^2}+\left(-\frac{1}{4}+\frac{\kappa}{z}+\frac{1/4-\mu^2}{z^2}\right)w=0.
此方程在 0 有用正则奇点，在 ∞ 有非正则奇点.

惠泰克方程有两个解

M 与 U ：
:M_{\kappa,\mu}\left(z\right) = \exp\left(-z/2\right)z^{\mu+\tfrac{1}{2}}M\left(\mu-\kappa+\frac{1}{2}, 1+2\mu; z\right)
:W_{\kappa,\mu}\left(z\right) = \exp\left(-z/2\right)z^{\mu+\tfrac{1}{2}}U\left(\mu-\kappa+\frac{1}{2}, 1+2\mu; z\right).

级数展开
惠塔克M函数

WhittakerM=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(1/2-a+b)_{k}z^{b+1/2+k}}{e^{z/2}k!*(1+2b)_k}

[WhittakerW(a, b, z) = \sum|_{k1=0}^{\infty}(-Pi(z^(b+1/2+_k1)\Gamma(1/2-a+b+_k1)\Gamma(1-2b+_k1)-\Gamma(1/2-a-b+_k1)z^(-b+1/2+_k1)\Gamma(_k1+1+2b))/(GAMMA(_k1+1)GAMMA(1/2-a+b)GAMMA(1/2-a-b)sin(2Pib)GAMMA(_k1+1+2b)exp((1/2)z)GAMMA(1-2b+_k1)), _k1 = 0 .. infinity), And(b::(Not(nonposint)), (1/2-a+b)::(Not(nonposint)), (1/2-a-b)::(Not(nonposint)), abs(z)

参考文献