基本超几何函数

基本超几何函数是广义超几何函数的q模拟。
第一类基本超几何函数
:\;_{j}\phi_k \left[\begin{matrix}
a_1 & a_2 & \ldots & a_{j} \\
b_1 & b_2 & \ldots & b_k \end{matrix}
; q,z \right] = \sum_{n=0}^\infty
\frac {(a_1, a_2, \ldots, a_{j};q)_n} {(b_1, b_2, \ldots, b_k,q;q)_n} \left((-1)^nq^{n\choose 2}\right)^{1+k-j}z^n

其中

:(a_1,a_2,\ldots,a_m;q)_n = (a_1;q)_n (a_2;q)_n \ldots (a_m;q)_n
其中
:(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1}).

.

第二类基本超几何函数
:\;_j\psi_k \left[\begin{matrix}
a_1 & a_2 & \ldots & a_j \\
b_1 & b_2 & \ldots & b_k \end{matrix}
; q,z \right] = \sum_{n=-\infty}^\infty
\frac {(a_1, a_2, \ldots, a_j;q)_n} {(b_1, b_2, \ldots, b_k;q)_n} \left((-1)^nq^{n\choose 2}\right)^{k-j}z^n.

关系式
下列基本超几何函数在q->1时，化为超几何函数

: \lim_{q \to 1}\;_{j}\phi_k \left[\begin{matrix}
q^{a_1} & q^{a_2} & \ldots & q^{a_{j}} \\
q^{b_1} & q^{b_2} & \ldots & q^{b_k} \end{matrix}
; q,(q-1)*z \right] = \;_{j}F_k \left[\begin{matrix}
a_1 & a_2 & \ldots & a_{j} \\
b_1 & b_2 & \ldots & b_k \end{matrix}
; q,z \right]

q二项式定理
下列公式是二项式定理的q模拟：

: _1\Phi_{0}([a],[];q;z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}

参考文献
*
*
*{{citation|first=Eduard |last=Heine|year=1846|journal= Journal für die reine und angewandte Mathematik|pages=210–212|volume=32|title=Über die Reihe 1+\frac{(q^\alpha-1)(q^\beta-1)}{(q-1)(q^\gamma-1)}x + \frac{(q^\alpha-1)(q^{\alpha+1}-1)(q^\beta-1)(q^{\beta+1}-1)}{(q-1)(q^2-1)(q^\gamma-1)(q^{\gamma+1}-1)}x^2+\cdots|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002145391}}

• Eduard Heine, Theorie der Kugelfunctionen, (1878) 1, pp 97–125.
• Eduard Heine, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlin