开尔文函数

开尔文函数有两类，得名自開爾文勳爵。
第一类 ber_v(x),bei_v(x)

第二类 ker_v(x),kei_v(x)

第一类开尔文函数
ber_v(x)=Re(J_\nu \left (x e^{\frac{3 \pi i}{4}} \right ))

其中Re(f)代表f的实数部分，J_\nu是第一类贝塞尔函数。

ber_v(x)=Im(J_\nu \left (x e^{\frac{3 \pi i}{4}} \right ))

其中Im(f)代表f的虚数部分。

:\mathrm{ber}_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \frac{\cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right]}{k! \Gamma(n + k + 1)} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k

:\mathrm{bei}_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \frac{\sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right]}{k! \Gamma(n + k + 1)} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k

其中n为整数，上式分母的\Gamma是Γ函数。

第二类开尔文函数
Ker_v(x)=Re( K_\nu \left (x e^{\frac{\pi i}{4}} \right ) )

Kei_v(x)=Im( K_\nu \left (x e^{\frac{\pi i}{4}} \right ) )
其中K_\nu是第二類修正贝塞尔函数。

:\begin{align}
\mathrm{ker}_n(x) &= - \ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{ber}_n(x) + \frac{\pi}{4}\mathrm{bei}_n(x) \\
&\qquad + \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^{-n} \sum_{k=0}^{n-1} \cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{(n-k-1)!}{k!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k \\
&\qquad \qquad + \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \cos\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{\psi(k+1) + \psi(n + k + 1)}{k! (n+k)!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k
\end{align}

:\begin{align}
\mathrm{kei}_n(x) &= - \ln\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{bei}_n(x) - \frac{\pi}{4}\mathrm{ber}_n(x) \\
&\qquad -\frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^{-n} \sum_{k=0}^{n-1} \sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{(n-k-1)!}{k!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k \\
&\qquad \qquad + \frac{1}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k \geq 0} \sin\left[\left(\frac{3n}{4} + \frac{k}{2}\right)\pi\right] \frac{\psi(k+1) + \psi(n + k + 1)}{k! (n+k)!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^k
\end{align}

上式的\psi是双伽玛函数。
参考文献
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