二元小波轉換

ʂ
二元小波轉換(Dyadic Wavelet Transform)是縮放以二的級數為基底且取樣過後的小波轉換，但沒有時間取樣。

定義
\mathrm{f}的二元小波轉換的定義為：

:Wf(u,2^i) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \frac{1}{\sqrt{2^i}} \psi(\frac{t-u}{2^i}) \mathrm{d}t = f* \bar{\psi}_{2^i} (u) \,

:其中 \bar{\psi}_{2^i} = \psi_{2^i}(-t) = \frac{1}{\sqrt{2^i}} \psi(\frac{-t}{2^i}) \,

它也定義了一個穩定(stable)、完整(complete)的表示式，如果它的Heisenberg boxes囊括了所有的頻率軸，也就是存在一個\mathrm{A}和\mathrm{B}使得

: \forall \omega \in \mathbb{R}, \mathrm{A} \leqslant \sum_{i=-\infty}^\infty \left| \hat{\psi(2^i u)} \right|^2 \leqslant \mathrm{B}

所有的二元小波都是L^2 (R) 的 frame (Frames are a stable, possibly redundant, representation of signals.)。

應用
快速二元小波轉換 (Fast Dyadic Wavelet Transform, FDWT) 使用與快速小波轉換(Fast Wavelet Transform)相同的濾波器進行轉換，但是差別在於不需要再進行次採樣(subsampling)，時常用在擷取音樂訊號的Onset。

參考資料

• Dyadic Wavelet Transform http://cas.ensmp.fr/~chaplais/Wavetour_presentation/ondelettes%20dyadiques/Dyadic_Transform.html