结构常数

群论中的结构常数是定义在李群上的一组常数。它们决定了该李群的李代数的元素之间的李括号（对易关系）。反过来，给定一组满足某些性质的常数，就一定存在以它们为结构常数的局部李群。

定义
给定r维李群G上的r个线性无关的右不变向量场X_i(1 \leq i \leq r)，它们构成了G的李代数的一组基底。设

[X_i,X_j] = C^k_{ij}X_k，

其中[,]表示李括号。可以证明 C^k_{ij}是一组常数，它们称为李群G的结构常数。

性质
李群G的结构常数满足反对称性

C^k_{ij} = -C^k_{ji}，

以及Jacobi恒等式

C^k_{ij}C^i_{lm}+C^k_{il}C^i_{mj} + C^k_{im}C^i_{jl} = 0。

反过来，如果有一组常数 C^k_{ij},1\leq i,j,k \leq r满足上述两条性质，那么一定存在一个局部李群以这组常数为结构常数。

参考资料
外部链接