，I：电流强度。]]
安培環路定律（Ampère's circuital law）常簡稱“安培定律”，是经典电磁学中将“闭合回路（环路）周围磁场的环量”与“穿过该环路的电流”联系起来的定律。此定律可借由测量一圈的“磁场足迹”，来反推中间穿过了多少电流。安培环路定律属于靜磁學基本定律。由于毕奥-萨伐尔定律是基本公理，此磁场与电流的环路关系是可以被数学证明出来的，因此，严谨的称呼，应该为安培环路定理（Ampère's circuital theorem）。
安培环路定律是受到奥斯特于1820年发现“电流产生磁场”现象所启发，此发现促使安培、麦克斯韦等人开展了理论与实验研究，最终形成了该定律的现代形式。首先，1826年由安培提出初步概念；其后，1855年麦克斯韦发表了较完整定律。1865年，麦克斯韦借由引入位移电流项，将该定律推广到可以处理随时间变化的电流情况。最终修正的定律称为安培-麦克斯韦定律（Ampère-Maxwell law），而修正后得到的方程称为安培-麦克斯韦方程（Ampère-Maxwell equation），它是构成经典电磁学基础的麦克斯韦方程组之一。
定律方程
安培環路定律表明了：在真空中載流導線所載有的穩恆電流，與磁感应强度沿著環繞導線的任意閉合迴路（環路，closed loop）的路徑積分（環場積），兩者之間的關係為
: \oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} =\mu_0 I_{\text{enc}}；
其中，\mathbb{C}是環繞著導線的閉合迴路，\mathbf{B}是磁感应强度（又稱為磁場），\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}是微小線元素向量，\mu_0是磁常數，I_{\text{enc}}是閉合迴路\mathbb{C}所圍住的電流。
亦即，在真空中的稳恒电流会产生稳恒磁场，而磁感应强度B沿任意环绕载流导线的闭合路径的线积分值（环场积），等于该选取的环路（安培环路）所包围的总电流值（各个电流的代数和）乘以真空磁导率。
詹姆斯·馬克士威將方程式重新推導一遍，使得符合電動力學條件，並且發表結果於論文《論物理力線》內。馬克士威認為，含時電場會生成磁場，假若電場含時間，則前述安培定律方程式不成立，必須加以修正。經過修正後，新的方程式稱為馬克士威-安培方程式，是馬克士威方程組中的一個方程式，以積分形式表示為
: \oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 \int_\mathbb{S} \left(\mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}；
其中，\mathbb{S}是邊緣為\mathbb{C}的任意曲面，\mathbf{J}是穿過曲面\mathbb{S}的電流的電流密度，\mathbf{ D }是電位移，\mathrm{d}\mathbf{a}是微小面元素向量。
安培右手定則
載流迴圈所產生的磁場方向可以使用右手定則來判斷。其方法為將拇指外的四根手指向手掌彎的方向視為磁場方向，則拇指所指的方向即為電流的方向。
右手定則也可以用來辨明一條電線四周磁場的方向。對於這用法，右手定則稱為「安培右手定則」，或「安培定則」。如右圖，安培右手定則表明，假若將右手的大拇指朝著電線的電流方向指去，再將四根手指握緊電線，則四根手指彎曲的方向為磁場的方向。
原版安培環路定律
安培環路定律的歷史原版形式，連結了磁場與源電流。這定律可以寫成兩種形式，積分形式和微分形式。根據克耳文－斯托克斯定理（即上的斯托克斯公式），對於任意向量\mathbf{F}，
:\int_\mathbb{S} \nabla\times \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}=\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}。
所以，這兩種形式是等價的。
積分形式
电流I在一个曲面\mathbb{S}上的通量，等於磁場\mathbf{B}沿著\mathbb{S}的邊緣閉合迴路\mathbb{C}的路徑積分。採用國際單位制（後面會講述CGS單位制版本），原版安培環路定律的積分形式可以寫為：
:\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 I。
請注意到這方程式有些模糊之處，需要特別澄清：
*第一，邊界曲線\mathbb{C}的正向与曲面\mathbb{S}的侧符合右手规则。沿著閉合迴路\mathbb{C} 線積分的方向有兩種（順時針方向及逆時針方向）。還有，I \!\ 是通過邊緣為閉合迴路\mathbb{C} 的曲面\mathbb{S}的淨自由電流，包括以某方向通過的電流，減去以相反方向通過的電流。但是，兩種方向中，任何一種都可以選為正值。為了澄清這些模糊之處，必須使用右手定則：當右手食指朝著線積分方向指去時，伸直的大拇指會指向微小面元素向量，設定朝著這方向流動的電流為正值。
*第二，（固定\mathbb{C}，）定理之成立與以\mathbb{C}為邊界的\mathbb{S}的選擇無關。通過邊緣為閉合迴路\mathbb{C} 的曲面有無限多選擇（設想在一个閉合铁环上懸跨着一个肥皂泡，假若輕輕地往这个肥皂泡吹一口氣，則泡沫的形狀會變形）。不過選擇哪一曲面都無所謂，因為任何邊緣為\mathbb{C} 的曲面皆可被證明為正確的選擇。
安培環路定律可由必歐-沙伐定律和磁場的叠加性证明（請參閱必歐-沙伐定律）。在静磁學中，安培環路定律的角色與高斯定律在靜電學的角色類似。當系統組態具有適當的對稱性時，我們可以利用這對稱性，使用安培環路定律來便利地計算磁場。例如，當計算一條直線的載流導線或一個無限長螺線管的磁場時，可以採用圓柱坐標系來匹配系統的圓柱對稱性。
微分形式
根據克耳文－斯托克斯定理，這方程式也可以寫為微分形式。只有當電場不含時間的時候，也就是說，當電場對於時間的偏微分等於零的時候，這方程式才成立。採用國際單位制，這方程式表示為
:\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J } 。
磁场\mathbf{B} 的旋度等于（产生该磁场的）传导电流密度\mathbf{J} 。
電流分類
電流可以細分為自由電流和束縛電流，而束縛電流又可分類為磁化電流和電極化電流。以方程式表示，總電流密度\mathbf{J}是
:\mathbf{J} =\mathbf{J_f +J_M +J_P}；
其中，\mathbf{J}_ f 是自由電流密度或傳導電流密度，\mathbf{J}_M是磁化電流密度，\mathbf{J}_ P 是電極化電流密度。
從微觀而言，所有的電流基本上是一樣的。但是，由於實用原因，物理學家會將電流分類為自由電流和束縛電流，對於每一類電流有不同的處理方式。例如，束縛電流通常發生於原子尺寸。物理學家或許想要使用較簡單但適用於較大尺寸狀況的理論。因此，較微觀的安培定律，以B場\mathbf{B}和微觀電流（包括自由電流和束縛電流）來表達的定律，有時候會被替代為等價的形式，以附屬磁場（又稱為H場）\mathbf{H}和自由電流來表達的形式。後面證明段落，會有詳細的關於自由電流和束縛電流的定義，與兩種表述等價的證明。
自由電流
通常在教科書內所提及的单独的“電流”二字，都是指的自由電流，即自由载流子（电子及阴阳离子）的定向移动。例如，通過一條導線或一個電池的電流。自由电流与后面提到的束缚电流明顯不同，后者出現於可以被磁化或電極化的宏觀物質裏（每一種物質都會或多或少地被電極化或磁化）。
磁化電流
當一個物質被磁化的時候（例如，將此物質置入外磁場），電子仍舊會束縛於它們所屬的原子。但是，它們的物理行為會有所改變（會與感受到的磁場耦合），產生微觀電流。將這些電流總合在一起，會有如同宏观電流一般的效應，環繞於磁化物體內部或表面。稱這電流為磁化電流，是束縛電流的一部分。稱磁化電流的密度為「體磁化電流密度」\mathbf{J}_M，用方程式定義為
:\mathbf{J}_M\ \stackrel{def}{=}\ \nabla\times\mathbf{M}；
其中，\mathbf{M}是磁化強度（單位體積的磁偶極矩）。
電極化電流
束縛電流的另外一種來源是電極化電流。感受到電場的作用，可電極化物質內的正束縛電荷和負束縛電荷會以原子距離相互分離。假設電場隨著時間而變化，束縛電荷也會隨著時間而移動，因而產生「電極化電流」，稱其密度為「電極化電流密度」\mathbf{J}_P，用方程式定義為
:\mathbf{J}_P\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}；
其中，\mathbf{P}是電極化強度。
注意到電極化強度的定義式
:\nabla\cdot\mathbf{P}\ \stackrel{def}{=}\ - \rho_b；
其中，\rho_b是「體束縛電荷密度」。
取電極化電流密度的散度：
:\nabla\cdot\mathbf{J}_P=\frac{\partial}{\partial t} (\nabla\cdot\mathbf{P})。
所以，電極化電流密度與體束縛電荷密度的關係為
:\nabla\cdot\mathbf{J}_P= - \frac{\partial\rho_b}{\partial t}。
原版安培環路定律的不足處
原版安培環路定律只適用於靜磁學。在電動力學裏，當物理量含時間，有些細節必須仔細檢查。思考安培方程式，
:\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }；
其中，\mathbf{B}是B場，\mu_0是磁常數，\mathbf{J }是總電流。
取散度於這方程式，則會得到
:\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) = \mu_0 \nabla\cdot\mathbf{J }。
應用一個向量恆等式，旋度的散度必定等於零。所以，
:\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) =0。
這意味著電流密度的散度等於零：
:\nabla\cdot\mathbf{J }=0。
在靜磁學內，這是正確的。但是，出了靜磁學範圍，當電流不穩定的時候，這就不一定正確了。
，左邊的圓形金屬板，被一個假想的封閉圓柱表面\mathbb{S}包圍。這圓柱表面的右邊表面\mathbb{R}處於電容器的兩塊圓形金屬板之間，左邊表面\mathbb{L}處於最左邊。沒有任何傳導電流通過表面\mathbb{R}，而有電流I通過表面\mathbb{L}。]]
舉個經典例子，如圖右，一個正在充電的電容器，其兩片金屬板會隨著時間分別累積異性電荷。設定表面\mathbb{L}的邊緣為閉合迴路\mathbb{C}。應用安培定律，
: \oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot d\boldsymbol{\ell} =\mu_0 I_{\text{enc}}。
在這裡，I_{\text{enc}}是通過任意曲面的電流，只要這曲面符合一個條件：邊緣為閉合迴路\mathbb{C}。所以，這任意曲面可以是表面\mathbb{L}，而I_{\text{enc}}是I；或者這任意曲面可以是封閉圓柱表面減去左邊表面\mathbb{S} - \mathbb{L}，而由於通過這任意曲面的電流是0，I_{\text{enc}}是0。選擇不同的曲面會得到不同的答案，這在物理學裏，是絕對不允許發生的事。
為了解決上述難題，安培環路定律必須加以修改延伸。應用流體力學的方法，馬克士威摹想磁場為電介質渦旋（）大海，而位移電流即為大海內的電極化電流。在他於1861年發表的論文《論物理力線》裡面，馬克士威將位移電流項目加入了安培定律。
位移電流
在自由空間內，位移電流跟電場隨著時間的變化率有關；而在電介質內，上述貢獻仍舊存在，但另外一個重要貢獻則與電介質的電極化有關。雖然電荷不能自由地運動於電介質，感受到外電場的作用，分子的束縛電荷可以做微小的運動。因此，正值和負值的束縛電荷會產生小距離的分離，造成電極化的增加，這可以用變量電極化強度P來表達。電極化強度隨著時間的變化所產生的效應就是電極化電流。
位移電流密度\mathbf{J}_D 定義為
:\mathbf{J}_D\ \stackrel{def}{=}\ \frac {\partial\mathbf{D}}{\partial t}；
其中，\mathbf{D} 是電位移，定義為
: \mathbf{D}\ \stackrel{def}{=}\ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}；
其中，\varepsilon_0是電常數， \mathbf{P}是電極化強度。
所以，位移電流密度分為兩個部分：
: \mathbf{J}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}。
這方程式右手邊的第一個項目是馬克士威修正項目，在任何地方都可存在，甚至在真空也可以存在。馬克士威修正項目並不涉及任何真實的電荷運動，但是，它描述一個含時電場的物理行為，就好像是真實的電流。第二個項目是電極化電流密度，與電介質內單獨分子的極化性有關。
原本定律的延伸：馬克士威-安培方程式
將馬克士威修正項目加入安培方程式：
:\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }+ \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} ;
或者，使用H場\mathbf{H}和位移電流\mathbf{D}來表達，
:\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J }_f+ \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}。
這就是馬克士威-安培方程式，可以補救原本安培環路定律的限制。
假若使用B場\mathbf{B}的馬克士威-安培方程式，由於習慣，時常會稱\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}項目為位移電流密度。由於增添了位移電流，馬克士威能夠推論（正確地）光波是一種電磁波（請參閱電磁波條目）。
等價證明
:
CGS單位制的安培方程式
採用CGS單位制，安培方程式的積分形式，包括馬克士威修正項目，可以寫為
:\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \frac{1}{c} \int_S \left(4\pi\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}；
其中，c是光速。
其微分形式可以寫為
:\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \frac{1}{c}\left(4\pi\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)。
备注
参见
- 電荷守恆定律
註釋
參考文獻
外部連結
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