无量纲量

在量綱分析中，無量綱量（dimensionless quantity）又称-{zh-hans:无因次量; zh-hant:無量綱量}-、量纲为一的量（quantity of dimension one），指的是沒有量綱的量。它是個單純的數字，量綱為1。必须注意的是：无量纲量虽然没有量纲，但是可能被赋予一个习惯性计数单位，但绝对不会有国际单位制的基本单位。例如：摩尔当量是无量纲量，在习惯上用 Eq 作计数单位。

無量綱量在數學、物理學、工程學、經濟學以及日常生活中（如數數）被廣泛使用。一些廣為人知的無量綱量包括圓周率（π）、歐拉常數（e）和黃金分割率（φ）等。與之相對的是有量綱量，擁有諸如長度、面積、時間等單位。

無量綱量常寫作兩個有量綱量之積或比，但其最終的綱量互相消除後會得出無量綱量。比如，應變是量度形變的量，定義為長度差與原先長度之比。但由於兩者的量綱均為L（長度），因此相除後得出的量是沒有量綱的。

屬性

• 雖然無量綱量本身沒有量綱，但是它也有時被加以無量綱的單位。在分子和分母使用同樣的單位（kg/kg或mol/mol），有時可以幫助表達所測量的數值（如質量百分濃度或摩爾分數等）。某些量還可以表示為不同的單位之比，但這兩個單位的量綱相同（如光年除以米）。這種做法可以用於計算圖表中的斜率，或者進行單位轉換。這樣的寫法並不意味著存在量綱，而只不過是符號表達上的慣例。其他常用的無量綱量有：%=0.01，百分比；‰=0.001，千分比；ppm=10−6，百萬分比；ppb=10−9，十億分比；ppt=10−12，兆分比（萬億分比）以及角單位（度、弧度、百分度）等等。

• 兩個具有相同量綱之比是沒有量綱的，而且無論用甚麼單位計算，該量還是不變的。例如，如果物體A對物體B施大小為F的作用力，那B也會向A施大小為f的力。兩個力的比率F/f永遠等於1（見牛頓第三定律），而不取決於測量F和f所用的單位。這是因為物理中一個重要的假設：物理定律是獨立於人們選用的單位制的。如果以上的F/f不經常等於1，而在我們從國際單位制轉用厘米-克-秒制時改變了的話，這就意味著牛頓第三定律的真偽要看我們選取哪一種單位制，而這就與假設矛盾了。這一假設是白金漢π定理的基礎，其表述為：所有物理定律均能以數個無量綱量的數學組合（加、減、乘、除等等）寫成恆等式。如果無量綱量組合後的值在替換所用單位制後改變了的話，那麼白金漢π定理就不成立了。

白金漢π定理
白金漢π定理的另一項推論為，如果n個變數之間有某種函數關係，而這些變數中有k個獨立的量綱，則可以產生p = n − k個獨立的無量綱量。

例子
某磁力攪拌器的電功率是被攪拌液體的密度和黏度、攪拌器的直徑及攪拌速度的函數。因此這裡共有n = 5個變量

這n = 5個變量共由以下k = 3個量綱組成：

• 長度：L (m)
• 時間：T (s)
• 質量：M (kg)

根據該定理，通過組合這n = 5個變量，可以得出p = n − k = 5 − 3 = 2個獨立的無量綱量。此例中的這兩個無量綱量分別為：

• 雷諾數（描述流體流動的無量綱量）
• 功率數（描述攪拌器，同時包含流體密度的無量綱量）

例子

• 在10個蘋果中，有1個是壞了的。總蘋果數中壞蘋果的比例為1個蘋果/10個蘋果= 0.1 = 10%，這是個無量綱量。
• 角：角的定義為，以圓心為頂點劃出的弧的長度除以某另一長度。這個比率由長度除以長度所得，因此是個無量綱量。當所用的（無量綱）單位為弧度時，那個「另一長度」就是圓的半徑。當單位為角度時，「另一長度」就是圓周長的360分之1。
• 圓周率是個無量綱量，定義為圓周長與直徑之比。該數值無論在用甚麼單位量度這些長度時（厘米、英里、光年等等）都會是相同的，只要周長和直徑以同樣的單位量度。

無量綱量列表
下表中所有的量均為無量綱量：

無量綱的物理常數
一些基本物理常數，如真空中的光速、萬有引力常數、普朗克常數和波兹曼常数等等，在適當挑選時間、長度、質量、電荷及溫度等單位後，可以歸一（數值為1）。這種單位制被稱為自然單位制。不過不可能在每一個單位制中都把所有的物理常數歸一，剩餘的量必須以實驗判定。這些剩餘的量包括：

• α：精細結構常數，電磁交互作用的耦合常数，α ≈ 1/137；
• μ或β：質子與電子的不變質量之比，可更廣義地指所有基本粒子相對電子的不變質量之比，μ ≈ 1836；
• αs：強相互作用的耦合常數；
• αG：重力的耦合常數，αG ≈ 1.75×10−45。

注释
參見

• 量綱分析
• 標準化
• 白金漢π定理

参考文献
外部連結

• John Baez, "[http://math.ucr.edu/home/baez/constants.html How Many Fundamental Constants Are There?] "
• Huba, J. D., 2007, [http://www.ipp.mpg.de/~dpc/nrl/ NRL Plasma Formulary: Dimensionless Numbers of Fluid Mechanics.] Naval Research Laboratory. p. [http://www.ipp.mpg.de/~dpc/nrl/23.html 23] , [http://www.ipp.mpg.de/~dpc/nrl/24.html 24] , [http://www.ipp.mpg.de/~dpc/nrl/25.html 25]
• Sheppard, Mike, 2007, "[https://web.archive.org/web/20120928062000/http://www.mit.edu/~mi22295/constants/constants.html Systematic Search for Expressions of Dimensionless Constants using the NIST database of Physical Constants.]"