邏輯上，一致理论（consistent theory）、相容理论、自洽理论，是指不蘊涵矛盾的理论。在大部分逻辑系统中，不一致理论总是蕴含所有命题，因此不大有用。
一致理论是语法上的概念；与此对应的语义上的概念是理论，即具有模型的理论。由可靠性定理和哥德尔完备性定理，一阶逻辑理论是一致的当且仅当它是可满足的。
能够编码皮亚诺算术的递归可枚举理论（如皮亚诺算术、策梅洛-弗兰克尔集合论）的一致性只能被不弱于它的某个理论证明；参见哥德尔不完备定理。
定义
设 \mathcal L 是一个一阶语言。考虑所有一阶 \mathcal L-语句（即无自由变元的 \mathcal L-公式）构成的集合 \operatorname{Sent}(\mathcal L) 及其幂集 \mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L)) 。一些 \mathcal L-语句构成的集合 T\in\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L)) 称为一个 \mathcal L-理论（theory）。
一个 \mathcal L-理论 T\in\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L)) 称为一致理论，若有
:T\not\vdash\bot.
其中 \bot 是一个取定的假的一阶语句（例如 \exists x(\lnot x=x)），而 \vdash 是一阶逻辑的演绎关系。
皮亚诺算术 \mathsf{PA} 的语言 \mathcal L_{\text{Peano}} 的非逻辑符号由一个常元 0 及一个一元运算 (-)^+ 构成。
设 \mathcal L 的符号构成自然数的递归集合（特别地，它只含可数个符号）。则 \mathcal L-理论 T\in\mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L)) 是否是一致的可以用皮亚诺算术的语言来表示，记这一 \mathcal L_{\text{Peano}}-语句为 \operatorname{Con}(T) 。
相对一致性
设 S 是一个 \mathcal L_{\text{Peano}}的理论，且为真。即有
:\mathbb N\models S,
其中 \mathbb N 是自然数的 \mathcal L_{\text{Peano}}-结构。
那么，在 \mathcal L-理论构成的集合 \mathcal P(\operatorname{Sent}(\mathcal L)) 上可以定义一个预序如下：
:T\lesssim_ST'\iff S\vdash(\operatorname{Con}(T')\implies\operatorname{Con}(T)).
这一预序称为（在 S 下的）相对一致性预序（relative consistency preorder）。我们称（在 S 下） T 关于 T' 是相对一致的（relatively consistent），若有 T\lesssim_ST' 。
我们称 T 和 T' （在 S 下）是等一致的（equiconsistent），若有 T\lesssim_ST'\lesssim_ST 。
参见
- 哥德尔完备性定理
- 哥德爾不完備定理
- 完备性
- 嚴謹 (數學)
- 不一致的謬誤
- 矛盾
- 破釜邏輯
参考文献
外部链接
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