質數間隙

質數間隙是指兩個相鄰質數間的差值。第n個質數間隙，標記為gn 或g(pn)，指第n個質數和第n+1個質數間的差值，即

:g_n = p_{n + 1} - p_n.\

可知，g1 = 1、g2 = g3 = 2，以及g4 = 4。由質數間隙組成的數列(gn) 已被廣泛地研究，但仍有許多問題及猜想尚未獲得解答。

前30個質數間隙為：

: 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 .

由gn 的定義，可得gn 及第n+1個質數的關係式如下：

:p_{n+1} = 2 + \sum_{i=1}^n g_i .

張益唐在2013年證明：存在有無限多對質數，其間隙小於七千萬；之後於同年十一月，詹姆斯·梅纳德用精進版的GPY篩法將間隙改進至600，而由陶哲轩发起的Polymath計畫將這數字降到246。

簡單觀察
第1個、最小，且唯一為奇數的質數間隙為1，是在「唯一一個偶質數2」與「第一個奇質數3」之間的質數間隙。剩下的其他質數間隙均為偶數。在3個相鄰的質數間的1對質數間隙均為質數，只有在質數3、5及7之間的g2 及g3 一種而已。

對任一質數P，可定義一質數乘積P#，為所有小於等於P的質數之乘積。若Q為P之後的質數，則數列

: P\#+2, P\#+3,\ldots,P\#+(Q-1)

為由相鄰的Q-2個合數組成的數列，亦即存在一個長度至少為Q-1的質數間隙。因此，質數間的間隙可以是任意大的，亦即對任一質數P，總存在一個整數n，使得gn ≥ P。（可選定n，使得pn為小於P# + 2 的最大質數）另外，依據《質數定理》，質數的密度會隨著數值增大而趨近於0，亦可知存在任意大的質數間隙。實際上，依《質數定理》，P# 的值約略為 exp(P)的大小，且於 exp(P)附近，相鄰質數的「平均」間隙為 P。

實際上，質數間隙為P 的數可能會遠小於P#。例如，由71個相鄰合數組成的最小數列介於31398至31468間，但71#有「27個數位」，其完整的十進位表示為 557940830126698960967415390。

孿生質數猜想主張存在無限多個整數n，使得 。

數值結果
一般將\frac{g_n}{\ln(p_n)}給稱作g_n的努力值（merit）。非正式地，一個質數間隙g_n的努力值可視為一個質數間隙和p_n附近的平均間隙大小之間的比值。

目前最大的、和一個可能質數相關的間隙，其大小為16,045,848，和一個385,713位的可能質數有關，而其努力值M=18.067。這數由Andreas Höglund在2024年3月發現。而最大的和確認的質數相關的質數間隙，其大小為1,113,106，努力值為25.90，和一個18,662位的質數有關，發現者是P. Cami, M. Jansen和J. K. Andersen。

為止，已知最大的及第一個超過40的努力值由Gapcoin網路所發現，其數值為41.93878373，和一個87位的質數有關，這個質數和下一個質數之間的間隙的大小為8350。

Cramér–Shanks–Granville比值指的是g_n/(\ln{p_n})^2這個比值。

其他已知的最大間隙可見於，而與之相關的質數p_n可見於，相關的則可見於。目前猜想，不大於第個質數的最大間隙組成的數列大約有2\ln n 項。

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更多結果
上界
1852年得到證明的伯特蘭-切比雪夫定理顯示，在k跟2k之間，總有一個質數，特別地，p_{n+1} ，因此g_n 。

1896年得證的質數定理顯示說對足夠大的質數而言，一個質數p和下一個質數之間的間隙，會漸近地接近\ln{p}，也就是p的自然對數，而實際的質數間隙可能遠大或遠小於此；

然而我們可以從質數定理推出說質數間隙跟質數的比會變得任意小，如下式所示：
:\lim_{n\to\infty}\frac{g_n}{p_n}=0.
以極限的定義來說，對於任意的\epsilon > 0，存在一個數N，使得對於所有的n > N而言，有
:g_n

在1930年首次證明了以下的非線性關係，他證明了說，存在一個常數\theta ，使得下式成立：

:\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\log(x)} \text{ as } x \to \infty,

由此他證明了，對於足夠大的，有以下關係：

:g_n

何海賽爾證明說\theta小於等於32999/33000；之後將之給改進到249/250；而證明了說對於任意的0 而言，\theta = \frac{3}{4} + \varepsilon。

一個主要的改進由做出，他證明了說存在一個正的常數c，使得下式成立：

:if \zeta(1/2 + it) = O(t^c) then \pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\log(x)} for any \theta > (1 + 4c)/(2 + 4c).

此處，O代表大O符號，\zeta代表黎曼ζ函數，而\pi是質數計數函數。由於\frac{1}{6} 是可行的數之故，因此可知\theta可以是任何大於\frac{5}{8}的數。

英厄姆結果的一個立即的推論是，在足夠大時，在n^3及(n+1)^3之間總有一個質數；此外在2016年，Dudek給英厄姆結果證明了一個有明確數值版本，他證明了說對於任意的n > e^{e^{33.217}}\approx1.01\cdot10^{115809466034000}而言，兩個立方數之間必有一個質數。

從林德勒夫猜想可推出，英厄姆的公式對於任意正數c都成立；然而這兩者都不足以推出勒讓德猜想，也就是在n^2及(n+1)^2之間總有一個質數這猜想。要證明這點，像是克拉梅爾猜想等更強的結果會是必要的。

在1972年證明說，\theta=\frac{7}{12}=0.583\cdots是可能的。

貝克、和在2001年正明說\theta\cdots可以縮小到0.525。

上述的結果適用於「所有的」間隙，而人們對「最小的」間隙也感興趣。孿生質數猜想說，有無限多的質數，其間隙為2。在2005年，、和三氏證明了以下關係：

:\liminf_{n\to\infty}\frac{g_n}{\log p_n} = 0

兩年後他們又將之改進如下： to
:\liminf_{n\to\infty}\frac{g_n}{\sqrt{\log p_n}(\log\log p_n)^2}

2013年，張益唐證明了以下關係：
:\liminf_{n\to\infty} g_n

這表示說，有無限多的質數間隙，其大小不超過七千萬。之後的集體努力，在2013年7月20日，將張益唐界限給降到了4680。利用梅納德的想法，Polymath計畫將上界給降到了246，並證明了說在假定和其推廣的狀況下，分別可將上界給降到12和6。

艾狄胥·帕爾提供了10,000美元的獎金給任何能證明或否證上述的常數c可以任意大的人。這點在2014年由、、和陶哲軒四人組以及詹姆斯·梅納德分別獨立證出。

之後這結果被上述五人改進成對無限多個而言，以下不等式成立：

:g_n > \frac{c\ \log n\ \log\log n\ \log\log\log\log n}{\log\log\log n}

做為向艾狄胥原始獎金精神的致意，陶哲軒提供了10,000美元的獎金給任何能證明或否證上述的常數c可以任意大的人。

目前也已知關於質數鏈的下界。

關於質數間隙的猜想
如上所言，目前已知最好的關於質數間隙的結果是對於足夠大的而言，g_n （因此諸如5 - 3 > 3^{0.525}或29 - 23 > 23^{0.525}這樣的情況是不考慮的）但目前觀察到的結果是，即使最大的間隙，也遠小於此，也因此生出了一系列未證明的猜想。

首先，有猜想認為，對於上述何海賽爾的結果，有\theta = 0.5。

勒讓德猜想認為，在兩個完全平方數之間，都總有一個質數，而這意味著說，g_n = O(\sqrt{p_n})；安德里卡猜想則指出說：

:g_n

奥珀曼猜想意味著更強的結果，就是對於任意足夠大的而言（或許對任何的n > 30而言），總有以下關係：

:g_n

上述的關係都未得證明，而哈拉爾德·克拉梅爾證明了說若黎曼猜想成立，那在用大O符號表述的狀況下，質數間隙g_n會滿足以下關係：
: g_n = O(\sqrt{p_n} \log p_n),
（實際上，如果允許任意大的指數的話，這結果只需要較弱的林德勒夫猜想）

Dudek在假定黎曼猜想成立的狀況下，對克拉梅爾上述的結果給出一個有明確值的版本，也就是若黎曼猜想成立，那麼對任意的n\ge 2而言，有如次不等式：

:g_n

此外Dudek指出，對於足夠大的而言，不等式裝的常數項4/\pi可替換為任意大於一的常數。

與此同時，克拉梅爾也猜想說質數間隙遠小於此，而他的猜想即是克拉梅爾猜想，克拉梅爾猜想表示說：
: g_n = O\!\left((\log p_n)^2\right)\!,
也就是說，其成長率是一個小於任何指數\theta > 0的多對數函數。

克拉梅爾猜想符合觀察到的質數間隙，此外也有其他類似的猜想。菲魯茲巴赫特猜想稍強於此，菲魯茲巴赫特猜想認為，p_{n}^{1/n}\!是個對的嚴格遞減函數，也就是說，對於任意的n\ge 1而言，有以下關係：

:p_{n+1}^{1/(n+1)} \!

若這猜想成立，就表示說對於任意的n > 9而言，有 g_n 從該猜想可推出強克拉梅爾猜想，而這與、等人的猜測不一致。他們的猜測認為，對於\varepsilon>0,而言，有無限多質數間隙，使得 g_n > \frac{2-\varepsilon}{e^\gamma}(\log p_n)^2 > (1.1229-\varepsilon)(\log p_n)^2，其中\gamma是歐拉-馬斯刻若尼常數。

波利尼亞克猜想表示說，對於任何的正偶數k，都總有無限多個質數間隙等於k。k=2的情況即孿生質數猜想。目前尚未對這猜想任何特定的k成立或不成立，但如上所言，由於張益唐以及隨後的改進，目前已知這猜想對至少一個k \le 246成立。

作為數論函數
表示第n個質數及其之後的質數間隙的g_n是數論函數的一個例子，在將之視為數論函數的狀況下，一般都把質數間隙給記做d_n並稱之為質數差函數。這函數非積性函數，也非加性函數。

另見

• Bonse不等式
• Interprime

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• 孿生質數

:*孪生质数猜想

參考資料
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外部連結

• Thomas R. Nicely, [https://web.archive.org/web/20160712050001/http://www.trnicely.net/ Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory]. This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps.

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• Armin Shams, [http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs11253-008-0034-7 Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture] , does not involve an 'arbitrarily big' constant as some other reported results.

Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/notes/gaps.html Gaps Between Primes*] ; an elementary introduction
*[http://www.primegaps.com/ www.primegaps.com] A study of the gaps between consecutive prime numbers
Andrew Granville, [http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/CEBBrochureFinal.pdf Primes in Intervals of Bounded Length*] ; overview of the results obtained so far up to and including James Maynard's work of November 2013.

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