双二阶滤波器

双二阶滤波器的传递函数有如下的形式

G(s)=\frac{p_2s^2+p_1s+p_0}{s^2+e_1*s+e_0}

或

G(s)=\frac{p_2s^2+p_1s+p_0}{s^2+\frac{\omega_0}{Q}*s+\omega_0^2}

分子二项式中系数p_2,p_1决定滤波器的类型：
双二阶低通滤波器
G(s)=\frac{p_0}{s^2+\frac{\omega_0}{Q}*s+\omega_0^2}

其衰减函数为\。

A(\Omega)=G(j\omega)G(-j\omega)=\frac{Q^2}{(\Omega^4Q^2-2\Omega^2Q^2+\Omega^2+Q^2)}

其中
\Omega=\frac{\omega}{\omega_0}

;无源双二阶低通滤波器
无源双二阶低通滤波器由电阻、电容和电感元件组成

p_0=\frac{1}{LC}

\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}

Q=R*\sqrt{C/L}

;有源双二阶低通滤波器

有源双二阶低通滤波器由运算放大器、电容、电感和电阻构成。

双二阶高通滤波器
双二阶高通滤波器的传递函数为

G(s)=\frac{s^2}{s^2+\frac{\omega_0}{Q}*s+\omega_0^2}

双二阶高通滤波片的频率响应：

A(\Omega)=\frac{-Q^2\Omega^4}{(\Omega^4Q^2-2\Omega^2Q^2+\Omega^2+Q^2)}

p_2=1

\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}

Q=R*\sqrt{C/L}

双二阶带通滤波器
双二阶带通滤波器的传递函数为。

G(s)=\frac{p_1s}{s^2+\frac{\omega_0}{Q}s+\omega_0^2}

A(\Omega)=\frac{\Omega^2Q^2}{(\Omega^4Q^2-2\Omega^2Q^2+\Omega^2+Q^2)}

相角：

\theta := 90-180arctan(\frac{\omega\omega_0}{(Q*(\omega_0^2-\omega^2)})/\pi

p_1=\frac{1}{CR}

\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}

Q=R*\sqrt{C/L}

双二阶带阻滤波器
双二阶带阻滤波器的传递函数为

G(s)=\frac{p_2s^2+p_0}{s^2+\frac{\omega_0}{Q}s+\omega_0^2}

其频率响应

A(\Omega)=\frac{Q^2(\Omega^4-2\Omega^2+1)}{(\Omega^4Q^2-2\Omega^2*Q^2+\Omega^2+Q^2)}

相角：

theta := 180arctan(\frac{\Omega}{(Q(\Omega^2-1)})/\pi

p_2=1

\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}

Q=R*\sqrt{C/L}

参考文献