同配性

同配性（Assortativity），用作考察度值相近的顶点是否倾向于互相连接。

如果总体上度大的顶点倾向于连接度大的顶点，那么就称网络的度正相关的，或者成网络是同配的；如果总体上度大的顶点倾向于连接度小的顶点，那么就称网络的度负相关的，或者成网络是异配的。

同配性计算
联合度分布
网络的度分布P(k)=\frac{n(k)}{N}为一阶度分布，联合度分布可理解为二阶度分布，或网络度的联合概率分布。

联合度分布e_{jk}=P(j,k)=\frac{m(j,k)\mu(j,k)}{2M}为两个端点的度分别为j和k的概率，m(j,k)为对应连边数，如果j=k，\mu(j,k)=2，否则\mu(j,k)=1

余度分布q_k=P_n(k)=\sum_{j=k_{min}}^{k_{max}} P(j,k)，即网络度的边缘分布，表示随机顶点的邻居顶点为k的概率。

如果二阶度分布是完全随机的，即恒有e_{jk}=q_jq_k，则网络不具有度相关性。

例子
N点星型网络，其中包括度为N-1的1个点，度为1的N-1个点

P(N-1,1)=P(1,N-1)=\dfrac{1}{2}

q_1=\dfrac{1}{2},q_{N-1}=\dfrac{1}{2}

\displaystyle \sum_{j,k}jk(e_{jk}-q_j q_k)=(1)^2(-\frac{1}{4})+2(1)(N-1)(\frac{1}{4})+(N-1)^2(-\frac{1}{4})=\frac{-(N-2)^2}{4}

\displaystyle \sigma_q^2=\sum_k k^2 q_k-(\sum_k kq_k)^2=(1)^2(\frac{1}{2})+(N-1)^2(\frac{1}{2})-(\frac{N}{2})^2=\frac{(N-2)^2}{4}

r=\frac{\sum_{j,k} jk(e_{jk}-q_jq_k)}{\sigma_{q}^2}=-1

所以星型网络是异配的。

用另外一个公式会得到一样的值。

S_1=2(N-1),S_2=N(N-1),S_3=(N-1)[(N-1)^2+1],S_e=2(N-1)^2

r=\dfrac{S_1 S_e-S_2^2}{S_1 S_3-S_2^2}=\dfrac{4(N-1)^3-N^2 (N-1)^2}{2(N-1)^2[(N-1)^2+1]-N^2 (N-1)^2}

=\dfrac{4(N-1)-N^2}{2[(N-1)^2+1]-N^2}=\dfrac{-(N-2)^2}{(N-2)^2}=-1

参考资料