數學上，horofunction是定義在一個完備度量空間X上的函數，是X上的距離函數的極限。horofunction是米哈伊爾·格羅莫夫將推廣而引入的概念。
定義
設(X,d)為完備度量空間。取基點o\in X。對任一點x\in X，定義距離函數
:d_x(y)=d(x,y)-d(y,o)
這個函數連續，因此在X的連續函數空間C(X)中。在空間C(X)中賦以sup範數，建立 X\to C(X) 的映射
: x\mapsto d_x
易知這個映射是等距嵌入，稱為Kuratowski嵌入。
考慮商空間C'=C(X)/\{\textrm{constant functions}\}，並以在X中的有界集上一致收斂作為拓撲。把C(X)投射到C'，得到從X到C'中的嵌入。這個嵌入不依賴於基點o。
設X是可數緊緻的。定義\overline X_h為X在C'中的閉包，則\overline X_h 稱為X的horofunction緊緻化（horofunction compactification）。又定義邊界\partial_h X = \overline X_h \setminus X，則\partial_h X稱為X的horofunction邊界（horofunction boundary）。一個連續函數h \in C(X) 稱為horofunction ，如果h投射到C'的像b是在\partial_h X內。稱h是*以b為中心的horofunction。集合h^{-1}(-\infty, c)\in X稱為開horoball，而 h^{-1}(c)則稱為horosphere*。
參考
- Gromov, M., [https://web.archive.org/web/20121018071959/http://www.ihes.fr/~gromov/PDF/hyperbolic_manifold.pdf Hyperbolic manifolds, groups and actions]
- Andreev, P. D.,[http://link.springer.com/article/10.3103%2FS1066369X10090021 A. D. Alexandrov's Problem for Non-Positively Curved Spaces in the Sense of Busemann]. Russian Mathematics. 2010, 54(9):7–29.
度量幾何
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