权方和不等式

权方和不等式是一种分式不等式。

a_i,b_i>0

\begin{cases}
\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{a_i^{m+1}}{b_i^m} \ge \frac{(\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i)^{m+1}}{(\displaystyle \sum_{i=1}^n b_i)^m},m0\\
\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{a_i^{m+1}}{b_i^m} \le \frac{(\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i)^{m+1}}{(\displaystyle \sum_{i=1}^n b_i)^m},-1

取等条件：\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}

证明
利用伯努利不等式：

s=\frac{1}{a_1+a_2+...+a_n},t=\frac{1}{b_1+b_2+...+b_n}

m0时
:\sum_{i=1}^n \frac{(sa_i)^{m+1}}{(tb_i)^m}=\sum_{i=1}^n tb_i(\frac{sa_i}{tb_i})^{m+1} \ge \sum_{i=1}^n tb_i[1+(m+1)(\frac{sa_i}{tb_i}-1)]

:=\sum_{i=1}^n tb_i[(m+1)\frac{sa_i}{tb_i}-m]=\sum_{i=1}^n (m+1)sa_i-mtb_i=m+1-m=1

:\sum_{i=1}^n \frac{a_i^{m+1}}{b_i^m} \ge \frac{t^m}{s^{m+1}}=\frac{(\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i)^{m+1}}{(\displaystyle \sum_{i=1}^n b_i)^m}

-1\sum_{i=1}^n \frac{(sa_i)^{m+1}}{(tb_i)^m}=\sum_{i=1}^n tb_i(\frac{sa_i}{tb_i})^{m+1}\le \sum_{i=1}^n tb_i[1+(m+1)(\frac{sa_i}{tb_i}-1)]

:=\sum_{i=1}^n tb_i[(m+1)\frac{sa_i}{tb_i}-m]=\sum_{i=1}^n (m+1)sa_i-mtb_i=m+1-m=1

\sum_{i=1}^n \frac{a_i^{m+1}}{b_i^m} \le \frac{t^m}{s^{m+1}}=\frac{(\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i)^{m+1}}{(\displaystyle \sum_{i=1}^n b_i)^m}

参见
*赫尔德不等式

参考资料