信息论（）是应用数学、電子學和计算机科学的一个分支，涉及信息的量化、存储和通信等。信息论是由克劳德·香农发展，用来找出信号处理与通信操作的基本限制，如数据压缩、可靠的存储和数据传输等。自创立以来，它已拓展应用到许多其他领域，包括统计推断、自然语言处理、密码学、神经生物学、进化论和分子编码的功能、生态学的模式选择、热物理、量子计算、语言学、剽窃检测、模式识别、异常检测和其他形式的数据分析。
熵是信息的一个关键度量，通常用一条消息中需要存储或传输一个的平均比特数来表示。熵衡量了预测随机变量的值时涉及到的不确定度的量。例如，指定擲硬幣的结果（两个等可能的结果）比指定掷骰子的结果（六个等可能的结果）所提供的信息量更少（熵更少）。
信息论将信息的传递作为一种统计现象来考虑，给出了估算通信信道容量的方法。信息传输和信息压缩是信息论研究中的两大领域。这两个方面又由信道编码定理、信源－信道隔离定理相互联系。
信息论的基本内容的应用包括无损数据压缩（如ZIP文件）、有损数据压缩（如MP3和JPEG）、信道编码（如数字用户线路（））。这个领域处在数学、统计学、计算机科学、物理学、神经科学和電機工程學的交叉点上。信息论对航海家深空探测任务的成败、光盘的发明、手机的可行性、互联网的发展、语言学和人类感知的研究、对黑洞的了解，以及许多其他领域都影响深远。信息论的重要子领域有信源编码、信道编码、算法复杂性理论、算法信息论、資訊理論安全性和信息度量等。
简述
信息论的主要内容可以类比人类最广泛的交流手段——语言来阐述。
一种简洁的语言（以英语为例）通常有两个重要特点：
首先，最常用的词（比如"a"、"the"、"I"）应该比不太常用的词（比如"benefit"、"generation"、"mediocre"）要短一些；其次，如果句子的某一部分被漏听或者由于噪声干扰（比如一辆车辆疾驰而过）而被误听，听者应该仍然可以抓住句子的大概意思。而如果把电子通信系统比作一种语言的话，这种健壮性（）是不可或缺的。将健壮性引入通信是通过信道编码完成的。信源编码和信道编码是信息论的基本研究课题。
注意这些内容同消息的重要性之间是毫不相干的。例如，像“多谢；常来”这样的客套话與像“救命”这样的紧急请求在说起来、或者写起来所花的时间是差不多的，然而明显后者更重要，也更有实在意义。信息论却不考虑一段消息的重要性或内在意义，因为这些是数据的质量的问题而不是数据量（数据的长度）和可读性方面上的问题，后者只是由概率这一因素单独决定的。
信息的度量
信息熵
美國數學家克劳德·香农被称为“信息论之父”。人们通常将香农于1948年10月发表于《》上的论文《通信的数学理论》作为现代信息论研究的开端。这一文章部分基于哈里·奈奎斯特和於1920年代先後發表的研究成果。在该文中，香农给出了信息熵的定义：
:H(X)=\mathbb{E}_{X} [I(x)] =\sum_{x\in\mathcal{X}}^{}p(x)\log_2\left(\frac{1}{p(x)}\right)
其中\mathcal{X}為有限个事件x的集合，X是定义在\mathcal{X}上的随机变量。信息熵是随机事件不确定性的度量。
信息熵与物理学中的热力学熵有着紧密的联系:
:S(X)=k_BH(X)
其中S(X)為熱力學熵，H(X)為信息熵，k_B為波茲曼常數。
事實上這個關係也就是廣義的波茲曼熵公式，或是在正則系綜內的熱力學熵表示式。如此可知，玻尔兹曼与吉布斯在统计物理学中对熵的工作，啟發了信息論的熵。
信息熵是信源編碼定理中，壓縮率的下限。若編碼所用的資訊量少於信息熵，則一定有資訊的損失。香农在大數定律和的基础上定義了和典型-{序列}-。典型集是典型-{序列}-的集合。因為一个独立同分布的X-{序列}-属于由X定义的典型集的機率大約為1，所以只需要将屬於典型集的无记忆X信源-{序列}-编为唯一可译碼，其他-{序列}-隨意編碼，就可以達到幾乎無損失的壓縮。
例子
設有一個三個面的骰子，三面分別寫有1, 2, 3，X為擲得的數，擲得各面的概率為
:\begin{align}\mathbb P(X = 1) & =1/5, \\
\mathbb P(X = 2) & =2/5, \\
\mathbb P(X = 3) & = 2/5, \end{align}
則
: H(X)=\frac{1}{5}\log_2 (5)+\frac{2}{5}\log_2\left(\frac{5}{2}\right)+\frac{2}{5}\log_2\left(\frac{5}{2}\right) \approx 1.522 .
聯合熵與條件熵
聯合熵（）由熵的定義出發，計算聯合分布的熵：
:H(X,Y)=\sum_{x\in\mathcal{X}}\sum_{y\in\mathcal{Y}}^{}p(x,y)\log\left(\frac{1}{p(x,y)}\right).
條件熵（），顧名思義，是以條件機率p(y|x)計算：
:H(Y|X)=\sum_{x\in\mathcal{X}}\sum_{y\in\mathcal{Y}}^{}p(x,y)\log\left(\frac{1}{p(y|x)}\right).
由貝氏定理，有p(x,y)=p(y|x)p(x)，代入聯合熵的定義，可以分離出條件熵，於是得到聯合熵與條件熵的關係式:
:H(X,Y)=H(X)+H(Y|X)=H(Y)+H(X|Y)=H(Y,X).
链式法則
可以再對聯合熵與條件熵的關係做推廣，假設現在有n個隨機變量X_i, i=1,2,...,n，重複分離出條件熵，有：
:\begin{align} H(X_1,X_2,...,X_n)&=H(X_1)+H(X_2,...,X_n|X_1)\\
&=H(X_1)+H(X_2|X_1)+H(X_3,...,X_n|X_1,X_2)\\
&=H(X_1)+\sum_{i=2}^{n}H(X_i|X_1,...,X_{i-1})\end{align}.
其直觀意義如下：假如接收一段數列\{X_1,X_2,...,X_n\}，且先收到X_1，再來是X_2，依此類推。那麼收到X_1後總資訊量為H(X_1)，收到X_2後總資訊量為H(X_1)+H(X_2|X_1)，直到收到X_n後，總資訊量應為H(X_1,...,X_n)，於是這個接收過程給出了链式法則。
互信息
互信息（）是另一有用的信息度量，它是指两个事件集合之间的相关性。两个事件X和Y的互信息定义为：
:I(X;Y) = H(X)-H(X|Y)=H(X) + H(Y) - H(X, Y)=H(Y)-H(Y|X)=I(Y;X).
其意義為，Y包含X的多少資訊。在尚未得到Y之前，對X的不確定性是H(X)，得到Y後，不確定性是H(X|Y)。所以一旦得到Y，就消除了H(X)-H(X|Y)的不確定量，這就是Y對X的資訊量。
如果X,Y互為獨立，則H(X,Y)=H(X)+H(Y)，於是I(X;Y)=0。
又因為H(X|Y)\leq H(X)，所以
:I(X;Y)\leq \min(H(X),H(Y)),
其中等號成立條件為Y=g(X)，g是一個對射}-函數。
互信息与以及皮尔森卡方檢定有着密切的联系。
应用
信息论被广泛应用在：
*編碼理論
*密码学
*数据传输
*数据压缩
*检测理论
*估计理论
*数据加密
参考文献
外部链接
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