钧轮和本轮，或者本轮钧轮系统，是天文學中用来解释和描述天体运动的一套几何模型，在历史上的地心体系和日心体系中，他被用來解釋月球、太陽和行星視運動的速度和方向。在这套体系里，本輪（epicycle，源自，字面是在圓之上）的意思在另一個圓圈之上運動的圓圈 。本轮沿着运动的这个较大圆圈则被称之为钧轮（deferent）。本轮在数学和机械上也是一个重要概念。在那些领域，它更多的被称作周转圆。
本轮概念最初是由佩爾加的阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga，）在紀元前3世紀末提出的。它由阿波羅尼奧斯和羅德島的喜帕恰斯（Hipparchus）在紀元前2世紀發展並廣泛的使用，然後在西元2世紀被底比斯的托勒密 （Claudius Ptolemy）正式收錄在《天文學大成》之中。在喜帕恰斯和托勒密的地心体系中，本轮和钧轮的套用是解释行星與地球視距離變化和行星視逆行運動的关键假设。十六世纪时候，哥白尼发展了日心体系，在这一体系中，行星与地球的距离变化和行星的逆行都可以由地球的运动解释，不再需要本轮假设。但由于哥白尼体系保留了正圆形的行星轨道，所以仍然需要在轨道上加入本轮来保证行星位置的理论计算和天文观测数据相符。直到十七世纪初，开普勒发展了行星的椭圆轨道理论，本轮概念才被完全摈弃。
本轮-钧轮系统，尽管被证实错误，但历史上它在地心和日心体系中都较好的模拟了行星的真实轨道。在数学上运用傅立葉分析可以顯示，足夠數量的周轉圓（本轮），可以以任意精度近似模拟任何平滑曲線。
概論
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日心体系中的钧轮本轮模型，最早由阿波罗尼奥斯（公元前3世纪）提出，经由喜帕恰斯（公元前2世纪）发展，最终由公元2世纪的克劳狄乌斯·托勒密集大成，并在在其《天文学大成》（Almagest）中正式确立。
这一模型的核心概念包括：
- 本轮（Epicycles）： 最初由阿波罗尼奥斯提出。这是行星运行的小型圆周，而本轮的中心则沿着以地球为中心的大圆（称为“均轮”）移动。這兩個圓都大致平行於太陽的軌道平面（黃道）順時針旋轉。这解释了为什么行星在夜空中会变慢并“逆行”。
- 偏心圆（Eccentrics）： 由喜帕恰斯引入并广泛应用。儘管這個系统是以地心为名，但每顆行星的钧轮運動其实不是以地球為中心，而是以地球稍遠，稱為偏心点（或偏心）的一個點為中心。在這個系統中，行星的軌道與外旋輪線相似。正因为地球不在钧轮的正中心，这可以解释行星运行速度在视觉上的变化：离地球最近时看似变快，最远时看似变慢。
- 均衡点（The Equant）： 这是由托勒密引入的机制，用来进一步拟合行星的速度变化。托勒密發現旧有模型无法完全調和巴比倫的觀測數據，特別是在可見的逆行形狀和大小上的差別。他引入一个与均轮中心（偏心点）错开的点（均衡点）。均衡点在偏心点的另一边，与地球位置相对且等距，从这个点观察，本轮的运动速度是完全匀速的。托勒密通过均衡點將本輪中心点在钧轮上的运动和均輪自身的运动分离开来。钧轮是相对于偏心点匀速运动，但本轮中心在钧轮上的运动却是相对于均衡点匀速的。
托勒密在《天文學大成》中并沒有计算行星均輪的相對大小，所以行星的排列顺序也没有完全确定下来。後來，他在《》一书中計算了距離，（见下表的第一列数据），并据此确定了行星在地心体系中的排列顺序。
托勒密的模型能较为准确地预测行星位置，并统治了天文学界一千多年，直到哥白尼提出日心说，将行星运动所环绕的中心从地球移到太阳。哥白尼依旧坚持天体的匀速圆周运动观念，这导致他的模型不得不继续采用均轮与本轮系统，以保证模型预测符合观测数据。
和托勒密体系相比，哥白尼日心体系下的钧轮本轮系统有以下特点：
*体系的中心是太阳，而非地球。地球和其他行星同样围绕太阳运转，而月亮则围绕地球运转。
*对逆行的解释不再需要本轮的存在。日心体系认为逆行是视觉效应，由地球和行星在不同轨道上的公转速度差导致（行星被地球“超车”）。
*使用更小的本轮。哥白尼称其为“小轮”（epicyclets）。
*废除了均衡点。哥白尼认为均衡点违背了真正的均匀圆周运动。
直到17世纪初，约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler）证明行星轨道其实是椭圆形，抛弃匀速圆周运动，才真正简化了宇宙模型，彻底终结了长达千年的钧轮本轮系统。
歷史
當古代的天文學家注視天空時，他們看見太陽、月球和星星在頭頂上以規律的型式運動，他們也看见“漫遊者”，即我們所謂的行星。行星在空间中的运动更加复杂但并非无规可循。古巴比倫人的觀測表明，外側行星在夜空中的移動速度通常會比恆星慢。每天晚上，這顆行星似乎都落後於恆星，這稱為順行運動。在靠近衝的附近時，行星會出現相反方向的運動，並且在夜空中移動得比恆星快，这称之为逆行，之后會再次反轉並恢復向前的運動。內側行星则永遠在太陽的附近，只在日出前不久或日落後不久短暫的出現在夜空。它們的逆行運動發生在穿越地球和太陽之間，即昏星與晨星轉換的過程。
行星在運動上的規律表明，它們的位置可能也是可以預測的。預測天體運動問題最直观的方法是根據星場繪製它們的位置，然後使用數學函數與不斷變化的位置擬合，换句话说，就是为行星的运动建立模型。
最初的行星运动模型是公元前4世纪的古希腊哲学家亚里士多德的同心球模型。在这个模型中，太阳，月亮和习惯行星都以地球為中心，以多層同心球的方式環繞地球运动。為了解釋逆行，一個行星被配以多個不同轉動方向和速度的同心球。
公元前3世纪的阿波羅尼奧斯意識到行星的逆行和运动速度的变化可以通過小圓形軌道（本輪）在較大的圓形軌道（均輪）上旋轉来解释。公元前2世纪的希腊天文学家喜帕恰斯发展了这一理论，并引入了偏心点的概念来拟合行星视运动速度的变化。
公元2世纪的克勞狄烏斯·托勒密进一步完善了均輪和本輪的模型，並引入了均衡點来改善对行星運動速度变化的计算。经他完善的本轮模型，在當時被證明是相当準確的，並且直到哥白尼時代都仍在使用。
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到了16世纪，随着天文观测水平的提高，托勒密模型和实际观测数据之间的差别开始被注意到。根据的叙述，哥白尼在1504年通过对一次行星合的观测，发现相对于以托勒密模型编纂的标准星表，"火星的位置超出2度以上，土星則落後了1.5度。"使用現代的電腦程式計算，金格瑞契证实在那次合的時刻，土星確實落後表中數值1.5度，火星則超前約2度。
哥白尼开始对托勒密体系进行改造，將基於地球觀測的結果轉為日心座標。哥白尼依旧不能摆脱古希腊哲学的传统观念，即天体必须进行“完美的圆形轨道”运动，并且天体的运动应该是匀速的，这导致他的模型依然不能准确的描述行星的运动。根據過去的經驗，哥白尼在他的理論中繼續使用均輪和本輪来实现更好的数据拟合，不同的是他的本輪很小，被稱為 "小輪"（epicyclets）。
相比于托勒密体系，哥白尼的模型体现出很多优势。哥白尼的理論至少和托勒密的一樣準確，但它对行星逆行的解释完全不需要本轮概念。哥白尼模型为拟合轨道数据而使用的本轮较小，而且数目也较少。（对后者历史上有所争议，参见下节“本轮数目的争议”。）哥白尼根据他的模型，可以计算出各个行星的轨道大小，并以此行星的排列順序。他对行星轨道大小的估算和今天我们知道的数据非常接近。
托勒密和哥白尼的理論證明了用均輪和本輪来拟合行星的运动是非常有效的。（参见后面“本轮拟合的有效性”一节。）年頓在1702年出版的《月球運動理論》一書，仍然運用了一些本輪，以使星曆表精度可以达到弧分；一些地区对本轮的使用持续了到19世纪以后。
第一個沒有本輪的行星模型是在西班牙安達魯斯的伊本·巴哲（阿文佩斯）在12世紀提出的，但直到17世紀，克卜勒的橢圓軌道模型逐漸取代了哥白尼基於完美圓圈的模型，歐洲才彻底消除了均輪和本輪的运用。
牛頓的經典力學为行星轨道的计算提供了更优越的理論。通過牛頓的萬有引力定律推導出的運動方程式，可以非常精确地計算行星的軌道和預測位置。特别是海王星的發現說明了牛頓力學解決軌道力學問題的能力。天文学家通过對天王星軌道中觀察到的擾動進行分析，预言了新行星的存在，并估算出這顆新行星的位置，并最终导致了海王星的发现，这是不可能由均輪和本輪系统来实现的。本轮系统的拟合，无论其精度有多高，也无法预测未知行星的轨道。
本轮数目的争议
天文學史上一个比较通行的看法是，人们通過長期累績的更加精确的天文学觀測，發現原始的托勒密系統存在缺陷。于是天文学家开始在模型中增加更多的本轮（本轮上嵌套本轮﹚，以期得到对行星運動观测数据的更准确匹配。到16世紀，增加的環圈越来越多，導致一個行不通而幾乎無法運作的系統，而哥白尼創造的日心系統，簡化了當時的托勒密天文學，從而成功的大量減少環圈的數量。比如下面的论述：
1960年代的《大英百科全書》，也引用了13世紀的卡斯提爾的國王阿方索十世（阿方索星曆表被認為是他創建的。﹚的话：
一般认为，以複雜性作為衡量的標準，托勒密的環圈數多達80個，哥白尼只有34個。
但也有历史学家对这一叙述提出了质疑。他们指出在研究中世紀文艺復興時期的托勒密天文學書籍時，并没有发现天文学家大规模增加嵌套本轮的历史记录。而且在均輪和本輪的模型本身来看，整體部分是相互關聯的。參數的更改，可以改善在一個位置的擬合，但在某些地方又會不合，过多增加本轮并不能提高模型的有效性，托勒密的最初模型可能是综合效能最佳的。有經驗的天文學家會認識到這点。他们的研究表明，阿方索星曆表顯然是使用了托勒密最初未經修飾的方法計算的。
他们认为传统的历史叙述夸大了托勒密体系的本轮数量，缩小了哥白尼体系的本轮数量。在16世紀，哥白尼和托勒密模型使用的本輪數量实际上是大致相等的。哥白尼系统34个本轮的数字，來自他自己一份未經發表，名為《評論》的文章中的陳述。但當他出版《天體運行論》時，哥白尼增加了更多的圓圈，創造了一個同樣複雜的系統。柯斯特勒（Koestler）在他《人類對宇宙的視覺史》中提到，在哥白尼体系中，等同於本輪的環有48個。而托勒密体系80个本轮的说法，可能是来自于在1898年流行的歐多克索斯系统，使用77或79個球體，但该系统受到非托勒密系統的吉羅拉莫·弗拉卡斯托羅的影響。有证据表明，在哥白尼的年代，普爾巴赫（Purbach）已將托勒密系統简化為40個本輪；因此，哥白尼系统和托勒密系统在复杂性上是相似的。
本轮拟合的有效性
本轮-钧轮系统，尽管被证实错误，但历史上它在地心和日心体系中都较好的模拟了行星的真实轨道。
历史学家曾说过：
在数学上运用傅立葉分析可以顯示，足夠數量的周轉圓（本轮），可以以任意精度近似模拟任何平滑曲線。任何路徑，無論有無週期、封閉或開放，都可以用無限數量的周轉圓表示。
這是因為周轉圓可以表示為複雜的傅立葉級數；因此，對於大量的周轉圓，複雜的路徑，可以在複平面中表示
讓複數
{{block indent|z_0=a_0 e^{i k_0 t}\,,}}
此處的和 是常數， 是虛數單位，和是時間，對應於以複平面的原點為中心，半徑為的均輪和角速度為
{{block indent|k_0=\frac{2\pi}{T}\,,}}
此處是週期。
如果是一個周轉圓的路徑，然後均輪加上本輪表示為總和
{{block indent|z_2=z_0+z_1=a_0 e^{i k_0 t}+a_1 e^{i k_1 t}\,.}}
這是一個概週期函數，並且當比率常數是一個有理數時，則是一個週期函數。歸納為個周轉圓，則概週期函數
{{block indent|z_N=\sum_{j=0}^N a_j e^{i k_j t}\,,}}
當每個都是有理數時，這就是週期性的。尋找到合适的係數在複平面上與時間相關的路徑，就能够複製均輪和本輪的軌道，這是一个的应用。
古希臘的天文計算設備安提基特拉機械使用多个個齒輪的组合来計算月球的位置和相位，这其中就運用了本輪（周轉圓）的運動理论。
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註解
資料來源
外部連結
*[http://galileo.rice.edu/sci/theories/ptolemaic_system.html Ptolemaic System] – at Rice University's Galileo Project
*[http://www.mathpages.com/home/kmath639/kmath639.htm Eccentrics, Deferents, Epicycles, and Equants] at MathPages
動畫、插圖
*[https://web.archive.org/web/20081205163915/http://jove.geol.niu.edu/faculty/stoddard/JAVA/ptolemy.html Java simulation of the Ptolemaic System] – at Paul Stoddard's Animated Virtual Planetarium, Northern Illinois University
*[https://web.archive.org/web/20080516005122/http://www.phy.syr.edu/courses/java/demos/kennett/Epicycle/Epicycle.html Epicycle and Deferent Demo] – at Rosemary Kennett's website at the University of Syracuse
*[http://astro.unl.edu/naap/ssm/animations/ptolemaic.swf A flash animation showing epicycles with adjustable parameters and presets for various planets.]
*[http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/epiclc_ja.html An Applet showing the principle of the epicycle], with a side-by-side comparison of the geocentric and heliocentric models.
*[http://science.larouchepac.com/kepler/astronomianova An excellent presentation on Ptolemy, Copernicus, Brahe and Kepler], based on Kepler's writings. Part 1 examines the different systems and their equivalence, Parts 2 and onwards examine Kepler's derivation of his laws.
*[https://www.youtube.com/watch?v=QVuU2YCwHjw Ptolemy and Homer (Simpson)] Reconstruction of a planet's bizarre orbit with Ptolemy's system of epicycles and deferents.
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