基本子结构

在模型论，给定在同一个语言 L 中的两个结构 M 和 N，我们称 M 是 N 的基本子结构（）如果

1. M 是 N 的子结构，且

1. 对于所有有限元组 a\in M，对于所有语言 L 的公式 \varphi(x)，我们有 M\models \varphi(a) 当且仅当 N\models \varphi(a)。

我们称 N 是 M 的基本扩展当且仅当 M 是 N 的基本子结构。

等价条件
有时对第二个条件使用一个等价的陈述。我们可以通过对所有 m \in M 增加一个常量符号 c_m \ 来扩展 L 为一个新语言 L(M)。那么 M 和 N 是解释每个 c_m \ 为 m 的 L(M) 的结构。

设 \mathrm{Th}_{L(M)}(M) \ 和 \mathrm{Th}_{L(M)}(N) \ 分别是在 M 和 N 中为真的 L(M)-句子的集合(称为它们的“基本图”)。那么上述条件 (2) 等价于陈述

:\mathrm{Th}_{L(M)}(M) = \mathrm{Th}_{L(M)}(N) \ .

塔斯基-沃特测试是给定一对 M\subset N，确定 M 是否是 N 的基本子结构的非常有用的必要和充分条件。

注释
Elementary_equivalence#Elementary_substructures_and_elementary_extensions