尚努埃爾引理

在數學的同調代數中，尚努埃爾（Schanuel）引理是一條簡易的基本結果，可用來比較一個模離投射性有多遠。

敘述
設R是環，
: 0 → K → P → M → 0
: 0 → K → P ' → M* → 0
是兩條左R-模的短正合序列，P和P '是投射模，則K ⊕ P '同構於K ' ⊕ P。

證明
定義P ⊕ P '的子模如下，其中φ : P → M，φ' : P ' → M：
: X = \{ (p,q) \in P \oplus P^\prime : \phi(p) = \phi^\prime(q) \}.
定義映射 π : X → P為自X投射第一個座標至P。φ' 是滿射，所以對任何p ∈ X，都有q ∈ P ' 使得φ(p) = φ'(q)。故有(p,q) ∈ X，得 π (p,q) = p。因此π 是滿射。

考慮π 的核：

\begin{align}
\text{ker} \; \pi &= \{ (0,q): (0,q) \in X \} \\
& = \{ (0,q): \phi^\prime(q) =0 \} \\
& \cong \; \text{ker} \; \phi^\prime \cong K^\prime.
\end{align}

由此可知有短正合序列
: 0 \rightarrow K^\prime \rightarrow X \rightarrow P \rightarrow 0.
因為P是投射的，所以序列分裂，故有X ≅ K ' ⊕ P。

同理可得
: 0 \rightarrow K \rightarrow X \rightarrow P^\prime \rightarrow 0,
因此X ≅ P ' ⊕ K。結合X的兩等價式，結果得證。

長正合序列
以上證明也可推廣至長正合序列。

應用
設
\ldots \rightarrow P_1\rightarrow P_0 \xrightarrow{f_0} M \rightarrow 0
是M的一個投射分解，使得\mathrm{ker}(f_0)是投射的，則M的每個投射分解都是如此。
證明
設\ldots \rightarrow Q_1\rightarrow Q_0 \xrightarrow{g_0} M \rightarrow 0是另一個投射分解。考慮短正合序列
:0\rightarrow \mathrm{ker}(f_0) \rightarrow P_0 \rightarrow M\rightarrow 0
:0\rightarrow \mathrm{ker}(g_0) \rightarrow Q_0 \rightarrow M\rightarrow 0
從尚努埃爾引理可知P_0\oplus \mathrm{ker}(g_0) \cong Q_0\oplus \mathrm{ker}(f_0) ，而從假設知Q_0\oplus \mathrm{ker}(f_0) 是投射的，故\mathrm{ker}(g_0)是投射模的直和項，因此也是投射的。

起源
斯蒂芬·尚努埃爾在歐文·卡普蘭斯基1958年秋季學期芝加哥大學的同調代數課上發現這個證法。卡普蘭斯基在書上說：他在課上給出了一個模的投射分解的一步，並指出若在一個分解中這個核是投射的，則在所有分解中都是投射的，又說雖然命題簡單，但須過些時候才能證。尚努埃爾回應說這容易證，於是描述了大概，就是後來以其命名的引理。他們討論了幾天後，得到了完整的證明。

參考
同調代數
模論