秩 (群)

在數學的群論中，一個群G的秩rank(G)，是G的各個生成集合中最小的勢，也就是

: \operatorname{rank}(G)=\min\{ |X|: X\subseteq G, \langle X\rangle =G\}.

若G是有限生成群，則G的秩是非負整數。

群的秩這個群論概念，類似於向量空間的維數。事實上，如果P是p-群，那麼群P的秩，等於向量空間P/Φ(P)的維數，其中Φ(P)是P的弗拉蒂尼子群。

例子
對非平凡群G，rank(G)=1當且僅當G*是循環群。
*對自由阿貝爾群\mathbb Z^n，有 {\rm rank}(\mathbb Z^n)=n。
若G是有限非阿貝爾單群，則rank(G*) = 2。這是從有限單群分類得出的結果。
若G是有限生成群，Φ(G) ≤ G是G的弗拉蒂尼子群（Φ(G)一定是G的正規子群，故此商群G/Φ(G)可定義），則rank(G) = rank(G/Φ(G*))。
若G=\langle x_1,\dots, x_n| r=1\rangle是單關係元群，r不是自由群F(x1,..., x*n)的本原元，即r不在F(x1,..., xn)的某個自由基之內，則rank(G) = n。

參考
參見
*阿貝爾群的秩

群論