波利亚计数定理（，简称PET）用来研究不同着色方案的计数问题，它是组合数学中的一个重要的计数公式，是伯恩赛德引理的一般化，由波利亞·哲爾吉在1937年的论文中提出并被广泛应用，该结果首先由John Howard Redfield在1927年发表，但当时很少有人能理解，十年后由波利亚独立重新发现。对于含n个对象的置换群G，用t种颜色着色的不同方案数为：

: l = \frac{1}\sum_{g \in G} t^{c(a_g)}

其中 G={a_1,a_2,...,a_g},c(a_k) 为置换 a_k 的循环指标（Cycle index）数目。

波利亚计数定理的母函数形式
设对n个对象用m种颜色：b_1,b_2,\cdots,b_m着色。设

m^{c(p_i)}=(b_1+b_2+\cdots+b_m)^{c_1(p_i)}(b_1^2+b_2^2 +\cdots +b_m^2)^{c_2(p_i)}\cdots (b_1^n + b_2^n + \cdots + b_m^n)^{c_n(p_i)}，其中c_j(p_i)表示置换群中第i个置换循环长度为j的个数。

设S_k = (b_1^k + b_2^k + \cdots + b_m^k), k=1,2\cdots,n，则波利亚计数定理的母函数形式为：

P(G) = \frac{1}{\mid G\mid}\sum_{j = 1}^g\Pi _{k =1}^{n}S_k^{c_k(p_j)}

波利亚计数定理只是给出计数，但没有给出相应的方案，而母函数形式的波利亚计数定理可以给出相应的方案。

示例
示例1
使用两种颜色对正方体的六个面的面染色，不同的染色方案数有：

: \frac{1}{24}\left(2^6+6\times 2^3 + 3\times 2^4 + 6\times 2^3+8\times 2^2\right)\ = 10

示例2
问题描述：
甲烷CH4的4个键任意用H(氢),Cl(氯),CH3(甲基), C2H5(乙基) 连接，有多少种方案？

问题解答：
甲烷的结构为正四面体，设四面体的四个顶点分别为A、B、C、D，将正四面体的转动群按转动轴分类情况如下：

不动旋转：A、B、C、D共有一个(1)4循环；

以顶点与对对面的中心连线为轴，逆时针旋转±120。存在如下置换所对应的旋转：置换(BCD)与置换(BDC)、置换(ACD)与置换(ADC)、置换(ABD)与置换(ADB)，(ABC)及(ACB)，共计8个(1)1(3)1循环。

以正四面体的3对对边之中点联线为旋转轴旋转180度，(AB)(CD)，(AC)(BD)，(AD)(BC),共有3个(2)2循环

根据波利亚计数定理可得:

\frac{1}{12}\left(4^4+8\times 4^2 + 3\times 4^2 \right)\ = 36
波利亚计数定理与伯恩赛德引理的比较

• 波利亚计数定理中的群G是作用在n个对象上的置换群。
• 伯恩赛德引理中的群G是对这n个对象染色后的方案集合上的置换群。
• 两个群之间存在一定的联系，群G的元素，相应的在染色方案上也诱导出一个属于G的置换。

参考文献
延伸閱讀
*