調和映射

數學上，在黎曼流形M和N之間的一個（光滑）映射，稱為調和映射，如果這個映射是狄利克雷能量泛函
:E(\varphi) = \int_M \|d\varphi\|^2\, d\operatorname{Vol}.
的一個臨界點。

試想像M是橡膠做的，N是大理石做的，形狀由其度量決定，而映射φ:M→N給出把橡膠「貼附」在大理石上的方式。E(φ)就表示因橡膠的張力產生的彈性位能。用這個比喻，φ稱為調和映射，如果把橡膠「鬆開」，但仍限制要處處與大理石接觸時，那麼橡膠已經在平衡的位置，所以不會「縮回」到另一個形狀。

從完備黎曼流形到非正截面曲率的完備黎曼流形存在調和映射，這個結果是證出。

數學定義
給出黎曼流形(M,g), (N,h)和映射φ:M→N，定義φ在M中一點x上的能量密度為
:e(\varphi) = \frac12\|d\varphi\|^2
其中\|d\varphi\|^2是φ的微分的範數平方，範數是對向量叢TM⊗φ−1TN上的導出度量而取。能量是能量密度在M*上的積分
:E(\varphi) = \int_M e(\varphi)\, dv_g = \frac{1}{2} \int_M \|d\varphi\|^2\, dv_g
其中dvg是M上由度量導出的測度。這是古典狄利克雷能量的推廣。

能量密度可以更明確地表作
:e(\varphi) = \frac12\operatorname{trace}_g\varphi^*h.
用愛因斯坦求和約定，上式右方在局部座標中可表示為：
:e(\varphi) = \frac12g^{ij}h_{\alpha\beta}\frac{\partial\varphi^\alpha}{\partial x^i}\frac{\partial\varphi^\beta}{\partial x^j}.
當M是緊緻時，則φ稱為調和映射，若φ是能量泛函E的一個臨界點。這個定義可以延伸至M不是緊緻的情況：φ稱為調和映射，若φ限制到任一個緊緻區域上都是調和映射，換一個更通常的說法，就是若在索伯列夫空間H1,2(M,N)中φ是能量泛函一個臨界點。

調和映射的另一個等價定義，就是φ滿足與泛函E對應的歐拉-拉格朗日方程：
:\tau(\varphi)\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \operatorname{trace}_g\nabla d\varphi = 0
其中∇是向量叢TM⊗φ−1上由M和N的列維-奇維塔聯絡導出的聯絡。式中τ(φ)是向量叢φ−1(TN)的截面，稱為φ的張力場。用上文的物理比喻來說，τ(φ)是「橡膠」流形M要使能量極小化時在N*中擬欲移動的方向。

例子
*恆等映射和常映射是調和映射。
若M是實數線R（或圓S1），也就是說φ是N*上的一條曲線（或閉曲線），那麼φ是調和映射當且僅當φ是測地線。（這時上述的橡膠與大理石比喻，就變為測地線常用的橡皮圈比喻。）
若N是歐氏空間Rn，那麼φ是調和映射當且僅當φ是通常意義上的調和函數（即拉普拉斯方程的一個解）。這是狄利克雷原理的結果。若φ是滿射到N*的開子集上的微分同胚，則φ給出一個調和座標系。
*在歐氏空間中的極小曲面都是調和浸入。
更一般地，N中的極小子流形M是從M到N*的調和浸入。
全測地映射都是調和映射。（此時不僅∇dφh的跡（trace），連∇dφ*h也變為零。）
*凱勒流形間的任何全純映射都是調和映射。

度量空間的調和映射
對於兩個度量空間之間的映射這個比黎曼流形弱的場合，能量積分也有相應的推廣。這時用以下形式的函數代替能量積分：
:e_\epsilon(u)(x) = \frac{\int_M d^2(u(x),u(y))\,d\mu^\epsilon_x(y)}{\int_M d^2(x,y)\,d\mu^\epsilon_x(y)}
其中μ是依附在M每一點上的測度族。

參考
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外部連結

• [http://mathworld.wolfram.com/HarmonicMap.html MathWorld: Harmonic map]
• [http://people.bath.ac.uk/masfeb/harmonic.html Harmonic maps bibliography]

黎曼幾何