數學上，共形和擬共形映射的理論中，一個曲線族\Gamma的極值長度是\Gamma的一個共形不變量。確切來說，設
D是複平面中的開集，\Gamma是D中的路徑族，f:D\to D'是一個共形映射。那麼\Gamma的極值長度等於 \Gamma在 f下的像的極值長度。因此極值長度是研究共形映射的有用工具。
極值長度的定義
設D是複平面中的開集。設\Gamma是在D中的可求長曲線族。\rho:D\to [0,\infty]是博雷爾可測函數。對任意可求長曲線\gamma，設
:L_\rho(\gamma):=\int_\gamma \rho\,|dz|
表示\gamma的\rho長度，其中|dz|表示歐氏線元。（可能有L_\rho(\gamma)=\infty。）又設
:L_\rho(\Gamma):=\inf_{\gamma\in\Gamma}L_\rho(\gamma).
\rho的面積定義為
:A(\rho):=\int_D \rho^2\,dx\,dy,
而\Gamma的極值長度定義為
:EL(\Gamma):= \sup_\rho \frac{L_\rho(\Gamma)^2}{A(\rho)}\,,
其中最小上界是取自所有滿足0的博雷爾可測函數\rho:D\to[0,\infty]。若\Gamma包含了不可求長曲線，將\Gamma中可求長曲線的子集記為
\Gamma_0，則
EL(\Gamma)定義為EL(\Gamma_0)。
\Gamma的模是1/EL(\Gamma)。
\overline D中的兩個集合在D中的極值距離，是在D中兩個端點分別在這兩個集合的曲線族的極值長度。
參考
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共形映射
位勢論
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