塞弗特-范坎彭定理

代數拓撲中的塞弗特－范坎彭（Seifert–van Kampen）定理，將一個拓撲空間的基本群，用覆蓋這空間的兩個開且路徑連通的子空間的基本群來表示。

定理敍述
設X為拓撲空間，有兩個開且路徑連通的子空間U_1, U_2覆蓋X，即X = U_1 \cup U_2，並且U_1 \cap U_2是非空且路徑連通。取U_1 \cap U_2中的一點x_0為各空間的基本群的基點。那麼從U_1 \cap U_2到U_1及U_2的包含映射導出相應基本群的群同態：（以下省略基本群中的基點。）
:\phi_1: \pi_1(U_1 \cap U_2) \to \pi_1(U_1)
:\phi_2: \pi_1(U_1 \cap U_2) \to \pi_1(U_2)
塞弗特－范坎彭定理指出X的基本群，是U_1, U_2的基本群的共合積：
:\pi_1(X) = \pi_1(U_1) *_{\pi_1(U_1 \cap U_2)} \pi_1(U_2)
用範疇論來說，\pi_1(X)是在群範疇中圖表
: \pi_1(U_1) \leftarrow {\pi_1(U_1 \cap U_2)} \rightarrow \pi_1(U_2)
的推出。

這定理可以推廣至X的任意多個開子空間的覆蓋：
設
*X為路徑連通拓撲空間，x_0為X的一點，
*\{U_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}由路徑連通的開集組成，為X的開覆蓋，
*任何一個U_\lambda都有點x_0，
*對任何\lambda, \mu\in \Lambda，都有\nu \in \Lambda，使得U_{\lambda}\cap U_{\mu} = U_\nu。
當U_\lambda \subset U_\mu，令
:\phi_{\lambda\mu}: \pi_1(U_\lambda) \to \pi_1(U_\mu)
為由包含所導出的群同態。又令
:\psi_{\lambda}: \pi_1(U_\lambda) \to \pi_1(X)
為由U_\lambda \subset X所導出的群同態。那麼\pi_1(X)有下述的泛性質：

設H為群，對所有\lambda\in \Lambda有群同態\rho_\lambda: \pi_1(U_\lambda)\to H，使得若U_\lambda \subset U_\mu，則
:\rho_\mu \circ \phi_{\lambda\mu} = \rho_\lambda。
那麼存在唯一的群同態\sigma: \pi_1(X) \to H，使得對所有\lambda\in \Lambda，都有
:\rho_\lambda = \sigma \circ \psi_\lambda。

這個泛性質決定唯一的\pi_1(X)。（不別群同構之異。）

參考
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