數學上，阿廷群（或Artin group、稱廣義辮群），是指有如下展示的群：

:\Big\langle x_1,x_2,\ldots,x_n \Big| \langle x_i, x_j \rangle^{m_{i,j}}=\langle x_j, x_i \rangle^{m_{j,i}}, i,j\in \{1,2,\ldots, n\}, i\neq j \Big\rangle
其中
:m_{i,j} = m_{j,i} \in \{2,3,\ldots, \infty\}.

對m ，\langle x_i, x_j \rangle^m表示長度為m的x_i和x_j的交錯積，以x_i開首。例如：
:\langle x_i, x_j \rangle^3 = x_ix_jx_i，
:\langle x_i, x_j \rangle^4 = x_ix_jx_ix_j。

若m=\infty，按慣例這表示x_i和x_j間沒有關係。

在整數m_{i,j}中加入m_{i,i}=1，可以組成一個對稱矩陣，稱為這個群的考克斯特矩陣（）。在Artin群中加入所有形為{x_i}^2=1的關係，得到的商群是考克斯特群。這個考克斯特群和原本的Artin群有相同的生成元和考克斯特矩陣。從Artin群到對應的考克斯特群的群同態的核，稱為純阿廷群（）。

Artin群的類
辮群是Artin群的一種，其考克斯特矩陣為m_{i,i+1} = 3，及當|i-j|>1時m_{i,j}=2。

用Artin群的考克斯特矩陣，可以定義出數類重要的Artin群：

有限型Artin群
若M是有限型考克斯特矩陣，使對應的考克斯特群W = A(M)是有限群，那麼Artin群A = A(M)稱為有限型Artin群（）。其「不可約型」標記為An , Bn = Cn , Dn , I2(n) , F4 , E6 , E7 , E8 , H3 , H4 。一個有限型純Artin群，可以表現為Cn中一個有限超平面配置的補集的基本群。皮埃爾·德利涅和Brieskorn-Saito用了這個幾何描述，算出A的中心、上同調，及解出字問題和共軛問題。

直角Artin群
若矩陣M中除對角線外的元素都是2或∞，則對應的Artin群稱為直角Artin群（）。這類Artin群常用以下的方式標記：任何一個有n個頂點的圖 Γ，頂點標記為1, 2, …, n，都可定義一個矩陣M，其中若i和j在Γ中相連，則mij = 2，否則mij = ∞。與矩陣M對應的直角Artin群A(Γ)有n個生成元x1, x2, …, xn及關係
: x_i x_j = x_j x_i \quad 若i和j在\Gamma中相連。

直角Artin群包括了有限秩的自由群，對應無邊線的圖，及有限生成的自由阿貝爾群，對應完全圖。事實上每個秩為r的直角Artin群都是一個秩為r-1的直角Artin群的HNN擴張，兩個極端例子是自由積和直積。這個構造法有一個推廣稱為群的圖積（）。直角Artin群是群的圖積的特例，其中每個頂點群都是秩1自由群（即無限循環群）。

Mladen Bestvina和Noel Brady建構了一個非正曲立方複形（）K，其基本群是一個給定的直角Artin群A(Γ)。他們在Artin群的幾何描述上用莫爾斯理論來論證，給出具有性質(FP2)的非有限展示群的第一批例子。

其他Artin群
若一個Artin群或一個考克斯特群的對應矩陣中，對所有i ≠ j都有mi, j ≥ 3，稱這個群是大型（）的；若對所有i ≠ j都有mi, j ≥ 4，則稱這個群是超大型（）的。

凱尼斯·阿佩爾和P.E. Schupp探討Artin群的性質，證明了四條定理。這些定理之前已知對考克斯特群成立，而他們證明對Artin群也成立。他們發現可以使用小消去理論的技巧研究超大型Artin群和考克斯特群，並可以把技巧改進來用在那些大型的群中。

他們證明的定理為：

設G為超大型Artin或考克斯特群。若J ⊆ I，則GJ有一個展示由考克斯特矩陣MJ定義，且GJ在G中的廣義字問題可解。若J, K ⊆ I則GJ ∩ GK = G (J ∩ K).

#超大型Artin群是無扭（即無有限目的元素）的。

設G為超大型Artin群，則集合{ai2 : i ∈ I}自由生成G的一個自由子群。

超大型Artin或考克斯特群的共軛問題可解。

參考

• Mladen Bestvina, Noel Brady, Morse theory and finiteness properties of groups. Invent. Math. 129 (1997), no. 3, 445-470.
• Pierre Deligne, Les immeubles des groupes de tresses généralisés. Invent. Math. 17 (1972), 273-302.
• Egbert Brieskorn, Kyoji Saito, Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen. Invent. Math. 17 (1972), 245--271.
• Ruth Charney, [http://people.brandeis.edu/~charney/papers/raagfinal.pdf An introduction to right-angled Artin groups]
• Montserrat Casals-Ruiz and Ilya V. Kazachkov, [http://arxiv.org/pdf/0810.4867v2.pdf On systems of equations over free partially commutative groups]
• Evgenii S. Esyp, Ilya V. Kazachkov, and Vladimir N. Remeslennikov, [http://arxiv.org/pdf/math/0512401.pdf Divisibility theory and complexity of algorithms for free partially commutative groups]
• Susan Hermiller, John Meier, [http://www.math.unl.edu/~shermiller2/webppr/graphproduct.pdf Algorithms and geometry for graph products of groups]
• Appel, Kenneth I., and P. E. Schupp. Artin Groups and Infinite Coxeter Groups. Inventiones Mathematicae 72.2 (1983): 201-220

群論