自由積

在數學的群論中，自由積（，）是從兩個以上的群構造出一個群的一種操作。兩個群G和H的自由積，是一個新的群G ∗ H。這個群包含G和H為子群，由G和H的元素生成，並且是有以上性質的群之中「最一般」的。自由積一定是無限群，除非G和H其一是平凡群。自由積的構造方法和自由群（由給定的生成元集合所能構造出的最一般的群）相似。

自由積是群範疇中的餘積。

建構方式
若G和H是群，以G和H形成的字是以下形式的乘積：
:s_1 s_2 \cdots s_n,
其中si是G或H的元。這種字可以用以下的操作簡化：

• 除去其中的（G或H的）單位元，
• 將其中的g1g2一對元素以其在G中的積代替，將其中的h1h2一對元素以其在H中的積代替。

每個簡約字都是G的元素和H的元素交替的積，例如：
:g_1 h_1 g_2 h_2 \cdots g_k h_k.
自由積G ∗ H的元素是以G和H*形成的簡約字，其上的運算是將兩字接合後簡化。

例如若G是無窮循環群，H是無窮循環群，則G ∗ H的元素是x的冪和y的冪交替的積。此時G ∗ H同構於以x和y生成的自由群。

設(G_i)_{i\in I}是群的一個族。用G_i形成的字，也可以用上述操作簡化為簡約字。仿上可定義出G_i的自由積*_{i\in I} G_i 。

展示
設
:G = \langle S_G \mid R_G \rangle
是G的一個展示（SG是生成元的集合，RG是關係元的集合），又設
:H = \langle S_H \mid R_H \rangle
是H的一個展示。那麼
:G * H = \langle S_G \cup S_H \mid R_G \cup R_H \rangle.
即是G ∗ H是G的生成元和H的生成元所生成，而其關係是G的關係元和H的關係元所組成。（兩者都是不交併。）

性質
將G_{i_0}自然地映射到_{i\in I} G_i的群同態是內射，故此這個群同態將G_{i_0}嵌入到*_{i\in I} G_i中為子群。

泛性質
自由積亦可由以下泛性質定義：設G是群，(G_i)_{i\in I}是由群組成的一個族，有一族群同態(\phi_i\colon G_i \to G)_{i\in I}。那麼存在唯一的群同態\phi\colon *_{i\in I} G_i \to G，使得對所有i_0\in I都有
: \phi_{i_0} = \phi \circ \iota_{i_0}
其中\iota_{i_0}\colon G_{i_0} \to _{i\in I} G_i 是把G_{i_0}嵌入到_{i\in I} G_i中的群同態。

共合積
共合積（或，）是自由積的推廣。設G和H是群，又設F是另一個群，並有群同態
:\phi\colon F\to G 及 \psi\colon F\to H
對F中所有元素f，在自由積G ∗ H中加入關係
:\phi(f)\psi^{-1}(f)=e
便得出其共合積。換言之，在G ∗ H中取最小的正規子群N，使得上式左方的元素都包含在內，則商群
:(G * H)/ N
就是共合積G *_F H。

共合積可視為在群範疇中圖表G \leftarrow F \rightarrow H的推出。

塞弗特－范坎彭定理指，兩個路徑連通的拓撲空間沿著一個路徑連通子空間接合的併，其基本群是這兩個拓撲空間的基本群的共合積。

共合積及與之相近的HNN擴張，是討論在樹上作用的群的Bass–Serre理論的基本組件。

參考
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群論