布里渊函数和郎之万函数

布里渊函数和郎之万函数（Brillouin and Langevin functions）是理想顺磁性材料研究中的一对特殊函数。

布里渊函数
布里渊函数形式为：

:B_J(x) = \frac{2J + 1}{2J} \coth \left ( \frac{2J + 1}{2J} x \right )

• \frac{1}{2J} \coth \left ( \frac{1}{2J} x \right )

其中，x 为实数，J 为正整数或半整数，函数的值域为从-1（x \to -\infty）到1（x \to +\infty）。

布里渊函数是计算理想顺磁体的磁化强度时引入的。它描述了磁化强度M 与外加 磁场 B 、材料微观磁矩的 总角动量量子数 J之间的关系。磁化强度由下式给出：
: = bN \left ( \coth(fb/k_BT) - \frac{1}{fb/k_BT} \right )
其中，b为 库恩长度，N为高分子链长，f为施加在链末端的外力。

当为小量时，郎之万函数可由其截断的泰勒级数近似：
:
L(x) = \tfrac{1}{3} x - \tfrac{1}{45} x^3 + \tfrac{2}{945} x^5 - \tfrac{1}{4725} x^7 + \dots

郎之万函数还可以由以下连分式近似：
:
L(x) = \frac{x}{3+\tfrac{x^2}{5+\tfrac{x^2}{7+\tfrac{x^2}{9+\ldots}}}}

郎之万函数的逆函数可由下式近似：
:
L^{-1}(x) \approx x \frac{3-x^2}{1-x^2},

其中，x的取值范围为(-1, 1)。

当x比较小时，一个更好的近似为：
:
L^{-1}(x) = 3x \frac{35-12x^2}{35-33x^2} + O(x^7)

郎之万逆函数的泰勒级数为：
:
L^{-1}(x) = 3 x + \tfrac{9}{5} x^3 + \tfrac{297}{175} x^5 + \tfrac{1539}{875} x^7 + \dots

高温极限
当 x \ll 1 时，即\mu_B B / k_B T 很小，磁矩可以由居里定律近似：

:M = C \cdot \frac{B}{T}

其中 C = \frac{N g^2 J(J+1) \mu_B^2}{3k_B} 为常数， g\sqrt{J(J+1)} 为有效波尔磁子数目。

强场极限
当 x\to\infty，布里渊函数的值趋于 1，材料的磁化强度饱和，磁矩的取向完全沿外场方向，于是有

:M = N g \mu_B J

参考文献