比耶鲁姆长度

比耶鲁姆长度（Bjerrum length ）是衡量介质极化程度的一种方法，定义为：在介电常数为 \epsilon_r 的介质中，距离为l_B 的两个基本电荷对之间的静电势能U(r) 等于无规热能 k_BT （或者距离l_B 的一摩尔基本电荷对之间的静电势能 U(r) 等于无规热能 RT ）。

其中k_B为波尔兹曼常数，T为绝对温度，R氣體常數 是波茲曼常數 k 乘上阿伏伽德罗常數 NA。當使用摩爾數計算粒子數時，較常使用氣體常數。
比耶鲁姆长度以丹麦化学家的名字命名。比耶鲁姆长度是电解质体系、聚电解质体系和胶体分散系等中的一个很自然的尺度。

在国际单位制中，比耶鲁姆长度为
:
l_B = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0\epsilon_rk_BT}

其中，e为基本电荷的电量，\epsilon_0为真空电容率，\epsilon_r为溶液的相对介电常数。对于水溶液，在室温（T=300K），\epsilon_r\approx 80，于是l_B \approx 0.7 \mbox{nm}

在 高斯单位制中， 4\pi\epsilon_0 = 1 ，比耶鲁姆长度为

l_B = \frac{e^2}{\epsilon_r k_B T}.

例子
基本电子对间的库伦势定义为：

u\left( r \right)=\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{r}}r}

空气中，\epsilon_r = 1，一摩尔相距为
r={{l}_{B}} 的基本电子对，电势能为：

u\left( {{l}_{B}} \right)=\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{l}_{B}}}N

根据比耶鲁姆长度的定义，库伦势等于内能: u\left( {{l}_{B}} \right)=RT

\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{l}_{B}}}N=RT\Rightarrow {{l}_{B}}=\frac{{{e}^{2}}N}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}RT}

当温度 T=298.15K 时:

{{l}_{B}}=\frac{1.386\times {{10}^{-4}}J\centerdot m\centerdot mo{{l}^{-1}}}{\left( 8.314J{{K}^{-1}}\times 298.15K \right)}=560\overset{\circ }{\mathop{A}}\,

560\overset{\circ }{\mathop{A}} 在原子尺度上来说是一个非常长的距离，是原子半径的许多倍，当两个电荷的距离比这个距离小的时候，它们会感受到非常强烈的吸引（或排斥）力，由于库仑势能比布朗运动的能量高，它们会变得有规则。反之，当距离大于比耶鲁姆长度的时候，库仑力对电荷的束缚比较小，电荷显得更加自由。

参考文献