杨氏不等式

在数学上，楊氏不等式，指出：假设a, b, p和q是正实数 ，且有\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1，那么：

:ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.

:等号成立当且仅当a^p = b^q ，因为这时ab = a(b^q)^{1 \over q} = aa^{p \over q} = a^p = {a^p \over p} + {b^q \over q}。

楊氏不等式是加权算术－几何平均值不等式的特例，也是证明赫爾德不等式的一个快捷方法。该不等式以命名。

证明
基於函數性質的證明
我们知道函数f(x) = e^x是一个凸函数， 因为它的二阶导数恒为正。 从而我们有：

:ab = e^{\ln(a)}e^{\ln(b)} = e^{{1 \over p}\ln(a^p) + {1 \over q}\ln(b^q)} \le {1 \over p}e^{\ln(a^p)}+{1 \over q}e^{\ln(b^q)} = {a^p \over p} + {b^q \over q}

这里我们使用了凸函数的一个性质：对任意 t ，若 0，则有：

:f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y)

基於配方法的證明
注意到：
:\begin{aligned}
\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}&=ab+
\lim_{L\to\infty}\left[\frac{1}{L}\left(a^{p/L}-b^{q/L}\right)^2\sum_{i=1}^{\lceil L/p\rceil}\sum_{j=1}^{\lceil L/q\rceil}\sum_{l=1}^{\lceil L\rceil-i-j+1}\left(a^{p(L-j-l)}b^{q(j+l-2)}\right)^{1/L}\right]\\
&\ge ab
\end{aligned}

得證。

推广
设\phi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}是一个连续、严格递增函数且 \phi(0)=0 。那么下面的不等式成立：
: ab \leq \int_{0}^a \phi(x) dx + \int_{0}^b \phi^{-1}(y) dy

观察\phi(x)的图形，很容易看出这个不等式的一个直观证明：以上两个积分式所表示的区域之和比由a和b组成的矩形的面积大。

参考来源
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