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卢卡斯-卡纳德方法

Wikipedia · 2021-08-18 维基百科 👁 1 阅读

在计算机视觉中，卢卡斯-卡纳德方法是一种广泛使用的光流估计的差分方法，这个方法是由Bruce D. Lucas和Takeo Kanade发明的。它假设光流在像素点的邻域是一个常数，然后使用最小平方法对邻域中的所有像素点求解基本的光流方程。

通过结合几个邻近像素点的信息，卢卡斯-卡纳德方法(简称为L-K方法)通常能够消除光流方程里的多义性。而且，与逐点计算的方法相比，L-K方法对图像噪声不敏感。不过，由于这是一种局部方法，所以在图像的均匀区域内部，L-K方法无法提供光流信息。

基本原理
L-K方法假设两个相邻帧的图像内容位移很小，且位移在所研究点p的邻域内为大致为常数。所以，可以假设光流方程 在以p点为中心的窗口内对所有的像素都成立。也就是说，局部图像流（速度）向量(V_x,V_y)须满足：

:I_x(q_1) V_x + I_y (q_1) V_y = -I_t(q_1)

:I_x(q_2) V_x + I_y (q_2) V_y = -I_t(q_2)

:\vdots

:I_x(q_n) V_x + I_y (q_n) V_y = -I_t(q_n)

其中，q_1,q_2,\dots,q_n 是窗口中的像素，I_x(q_i),I_y(q_i),I_t(q_i)是图像在点q_i和当前时间对位置x，y和时间t的偏导。

这些等式可以写成矩阵的形式A v = b，此处
:A = \begin{bmatrix}
I_x(q_1) & I_y(q_1) \\[10pt]
I_x(q_2) & I_y(q_2) \\[10pt]
\vdots & \vdots \\[10pt]
I_x(q_n) & I_y(q_n)
\end{bmatrix},
\quad\quad
v =
\begin{bmatrix}
V_x\\[10pt]
V_y
\end{bmatrix},
\quad \mbox{and}\quad
b =
\begin{bmatrix}
-I_t(q_1) \\[10pt]
-I_t(q_2) \\[10pt]
\vdots \\[10pt]
-I_t(q_n)
\end{bmatrix}

此方程组的等式个数多于未知数个数，所以它通常是over-determined的。L-K方法使用最小平方法获得一个近似解，即计算一个2x2的方程组：
:A^T A v=A^T b 或
: \mathrm{v}=(A^T A)^{-1}A^T b
其中，A^T是矩阵A的转置。即计算：

:\begin{bmatrix}
V_x\\[10pt]
V_y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\sum_i I_x(q_i)^2 & \sum_i I_x(q_i)I_y(q_i) \\[10pt]
\sum_i I_y(q_i)I_x(q_i) & \sum_i I_y(q_i)^2
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
-\sum_i I_x(q_i)I_t(q_i) \\[10pt]
-\sum_i I_y(q_i)I_t(q_i)
\end{bmatrix}

对i=1 到 n求和。

矩阵A^T A通常被称作图像在点p的 结构张量。

参考文献
外部链接

#计算机视觉

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