托佛利閘（英文：Toffoli gate），又被称作控-控-非门（英文：controlled-controlled-not gate，縮寫：CCNOT）是计算机科学中，由托瑪索·托佛利（Tommaso Toffoli）提出的通用可逆邏輯閘，其中任意可逆电路可由托佛利门构造得到。它具有三路输入和三路输出。如果前两位置一，它将倒置第三位，否则所有位保持不变。
背景
托佛利门的提出是从研究可逆计算发展而来的。自1960年代人们开始研究可逆逻辑门，初衷是减少计算过程的能量耗散，因为原则上可逆逻辑门在计算过程中不产生热量。对于一般逻辑门，输入状态在运算后会丢失，这导致输出的信息少于输入信息。根据熵原理，信息的损失以热的形式耗散到环境中。而可逆逻辑门只将信息状态从输入搬移到输出，不会损失信息。
托佛利门
由鸽巢原理可知，任何可逆逻辑门，需要具有相同数量的输入端与输出端。对于一个输入端，存在有两个可能的可逆逻辑门。一为非门（NOT），另一种为 YES 门，即输入与输出相同。对于两个输入端，存在的可逆逻辑门为受控反閘，它把第一个输入对第二个输入进行异或操作，并保持第一个输入不变。
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\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
|}
但是，只使用这两种逻辑门（非门和异或）并不能实现所有的布尔函数。如果要使用可逆逻辑门实现任意布尔函数，还需要额外的逻辑门。托瑪索·托佛利于1980年提出了 托佛利门。
该逻辑门具有三个输入端和三个输出端。如果前两个比特置位，它将翻转第三个比特：
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\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
|}
即，三路输入a、 b、c映射到输出端的结果为a、 b和c\oplus (a\cdot b)。Toffoli 门具有通用性，这意味着，通过托佛利Toffoli 门可以以可逆计算的方式实现任意布尔函数。
相关逻辑门
- Fredkin 门 是一种可逆三位逻辑门，输入端第一位为控制位，如果为1，输出将交换后两位。
- n位托佛利门是托佛利门的扩展。 它有 n 位输入 x1, x2, ..., xn 和 n 位输出。前 n−1 位输出等于 x1, ..., xn−1。 最后一个输出位为 (x1 AND ... AND xn−1) XOR xn.
- 可以使用五个两比特量子门构建托佛利门
- 托佛利门可以通过撞球模型得到解释，如图所示。
參見
- 可逆計算
- 量子電腦
- 量子閘
参考
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