筛法（Sieve Theory）是数论中的一类基本方法，其研究对象是筛函数，也就是某个被“筛选”过的有限整数子集的元素个数。

埃拉托斯特尼筛法是一种古典筛法，但由于没有理论价值，在很长时期内都没有发展

另由於g是積性函數之故，因此也可研究下式：
:\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)g(d)=\prod\limits_{\begin{array}{c} p|n ;\; p\in\mathbb{P}\end{array}}(1-g(p)),\quad\forall\; n\in\mathbb{N}.

篩法種類
當代的篩法包括了布朗篩法、塞尔伯格筛法、图兰筛法、大筛法、更大篩法以及GPY篩法等；而篩法的一個原始目的，就是嘗試證明孿生質數猜想等數論的問題。盡管篩法原始的目標依舊未達成，透過篩法學界依舊達成了部分目標，尤其在將此篩法與其他數論工具混合時更是如此。一些篩法取得的重要成果如下：

布朗定理，這定理指出所有的孿生質數的倒數之和收斂（但所有質數的倒數之和發散）

陳氏定理, 這定理指出，存在無限多的質數p，使得p+2要不就是質數，要不就是殆質數；而一個緊密相關的定理指出，任何一個充分大的偶數都可以表示成兩個質數的和或者一個質數及一個半質數（2次殆質數）的和。這兩個定理可分別視為與孿生質數猜想和哥德巴赫猜想最接近的定理。

篩法基本引理，這引理指出如果要對一個有N個元素的整數集合進行篩選，那在\varepsilon（像是1/10之類的分數常用於此情況）足夠小的狀況下，經過N^\varepsilon個步驟後就能得到精確的估計；然而，盡管這引理在篩出質數方面太弱（一般而言，這需要大約N^{1/2}個步驟），但依舊足以證明殆質數方面的結果。

**'，這定理指出有無限多的質數可表成a^2 + b^4的形式。

張益唐定理，這定理指出有無限多對的質數，其彼此的間隔是有限的；而梅那–陶定理（Maynard–Tao theorem）將之推廣為存在任意長度的質數序列。

篩法技巧
篩法是一個相當強力的技巧，但這技巧受限於奇偶性問題（parity problem）；而粗略地說，奇偶性問題指的是篩法在辨別有奇數個質因數的數及有偶數個質因數的數方面極為困難。截至目前為止，學界對奇偶性問題尚未有充分的了解。

跟其他數論方法相比，篩法是一個相對「初等」的技巧，而之所以會說篩法「初等」，是因為篩法不需要用到諸如解析數論或代數數論等其他更為進階的理論的觀念；然而，更加進階的篩法也可變得非常複雜且細緻，尤其在與其他數論技巧混合時更是如此；此外，目前也有專門介紹篩法的教科書，其中一個經典著作是；而一個更為現代的著作則是。

另外，本文中介紹的篩法與二次篩選法和普通數域篩選法等等作為整數質因數分解方法的篩選法並不密切相關，而這些質因數分解方法大多是利用埃拉托斯特尼筛法來有效率地決定一個數是否可以完全分解成小質數的演算法。

参考文献
扩展阅读
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*