雙重指數函數

雙重指數函數是指公式為f(x) = a^{b^x}的函數，是指數為另一個指數冪的指數冪，在x0時，雙重指數函數成長速率比指數函數還要快。

例如a = b = 10時：
*f(−1) ≈ 1.26
*f(0) = 10
*f(1) = 1010
*f(2) = 10100 = 古高爾（googol）
*f(3) = 101000
*f(100) = 1010100 = 古戈爾普勒克斯（googolplex）

階乘的成長速度比指數函數還快，但比雙重指數函數慢很多。而迭代冪次和阿克曼函數的成長速度比雙重指數函數要快很多。

雙重指數數列
以下是一些和雙重指數有關的數列：

• n元邏輯運算符的個數：

::2^{2^n}
*費馬數
::F_m = 2^{2^m}+1
*雙重梅森數
::M_{M_p} = 2^{2^p-1}-1

Aho和Sloane發現有許多整數數列的每一項是前一項的平方再加上一個整數，這類的數列常常可以用最接近雙重指數數列的整數來表示，且雙重指數數列中間的指數為2。

*西爾維斯特數列
::s_n = \left\lfloor E^{2^{n+1}}+\frac12 \right\rfloor
:其中E ≈ 1.264084735305302為Vardi常數。
*質數2, 11, 1361, ...
::a(n) = \left\lfloor A^{3^n}\right\rfloor
:其中A ≈ 1.306377883863為米尔斯常数。

應用
演算法複雜度
在計算複雜性理論中，有些演算法的時間複雜度是雙重指數，例如：
*在實閉域中的量詞消去。
*計算正则表达式的差集。

數論
有些數論中的上限是雙重指數，例如有n個相異質數的奇完全數的上限為：
:2^{4^n}

自從Miller和Wheeler在1951年利用EDSAC找到79位數的質數之後．利用電腦找到的已知最大質數和年份之間的關係為雙重指數函數。

參考資料
基本特殊函数
指数