质量通量

质量通量（）是指單位時間內通過單位面積的質量，常用j、J、φ或Φ 表示，有時會加下標m表示是針對質量的通量。其國際標準制單位為kg s-1 m-2。

定義
质量通量可以用以下的極限來定義：

:j_m = \lim\limits_{A \rightarrow 0}\frac{I_m}{A}

其中

:I_m = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta m}{\Delta t} = \frac{dm}{dt}

是單位時間的質量，而A是質量所通過的截面積。

若要計算向量形式的质量通量jm，需要計算從時間t1到t2之間通過表面S的曲面积分，可以得到在時間(t2 − t1)內通過表面的總質量：

:m=\int_{t_1}^{t_2}\iint_S \mathbf{j}_m\cdot\mathbf{\hat{n}}{\rm d}A{\rm d}t

要計算的面積可能是平坦或是彎曲的，也可能是一個曲面或是一截面積。例如考慮流過管路內的流體，則其面積就是指定區域的截面積。

是由面積大小A和面積的單位法向量\mathbf{\hat{n}}組合而成的物理量，其關係是\mathbf{A} = A \mathbf{\hat{n}}。

若质量通量jm和截面積的法向量\mathbf{\hat{n}}有θ度的夾角，則

:\mathbf{j}_m\cdot\mathbf{\hat{n}}= j_m\cos\theta

其中·為向量的內積，因此通過截面積的质量通量為jm cos θ，而沿著截面積切線的质量通量為jm sin θ，但這部份的分量沒有通過截面積。

流體方程
替代方程
配合向量的定義，質量通量也可以表示為下式：

:\mathbf{j}_{\rm m} = \rho \mathbf{u}

其中：

有時可以用此方程來定義向量形式的質量通量。

混合流體的質量通量及莫耳通量
若流體是多種物質的混合物，需依混合物中的各個成份個別計算質量通量。

若流體中只有一種物質，適合用質量通量來表示，但若流體中包括許多不同的粒子，此時比較適合用另一個類似的物理量來描述，稱為莫耳通量。

質量通量
若使用質量通量，成份i的質量通量為：

:\mathbf{j}_{{\rm m}, \, i} = \rho_i \mathbf{u}_i

成份i的質心質量通量（barycentric mass flux）為：

:\mathbf{j}_{{\rm m}, \, i} = \rho \left ( \mathbf{u}_i - \langle \mathbf{u} \rangle \right )

其中 \langle \mathbf{u} \rangle 為混合物中所有成份的平均质量流速（mass velocity），可以用下式計算：

: \langle \mathbf{u} \rangle = \frac{1}{\rho}\sum_i \rho_i \mathbf{u}_i = \frac{1}{\rho}\sum_i \mathbf{j}_{{\rm m}, \, i}

其中：

平均速度是依所有成份依密度加權來計算平均。

莫耳通量
若將上式的密度ρ改為莫耳數n，則可計算莫耳通量。

莫耳通量是單位時間通過單位體積的莫耳數：

:\mathbf{j}_{\rm n} = n \mathbf{u}

因此成份i的莫耳通量（單位時間通過單位體積的莫耳數）為：

:\mathbf{j}_{{\rm n}, \, i} = n_i \mathbf{u}_i

成份i的質心莫耳通量（barycentric molar flux）為：

:\mathbf{j}_{{\rm n}, \, i} = n \left ( \mathbf{u}_i - \langle \mathbf{u} \rangle \right )

此時 \langle \mathbf{u} \rangle 則是混合物中所有成份的莫耳速度（molar velocity）：

: \langle \mathbf{u} \rangle = \frac{1}{n}\sum_i n_i \mathbf{u}_i = \frac{1}{n}\sum_i \mathbf{j}_{{\rm m}, \, i}

用法
在流體動力學的連續方程式中會用到质量通量：

:\nabla\cdot\mathbf{j}_{\rm m} + \frac{\partial \rho}{\partial t}=0

上述方程式表示流體的質量守恆，流體只能從一處流到另一處。

莫耳通量則出現在有關擴散作用的菲克第一定律中：

:\nabla\cdot\mathbf{j}_{\rm n} = -\nabla \cdot D \nabla c

其中D為擴散係數，c為物質的濃度。

相關條目
*通量
*菲克定律
*質量流率

參考資料