譜指數

譜指數是天文學上依據來源頻率的輻射通量密度測量的。給定頻率\nu和輻射通量 S，譜指數\alpha由下式給定：
:S\propto\nu^\alpha.
請注意，如果通量沒有遵從冪律，譜指數本身是頻率的函數。重新排列上式，我們看見譜指數成為
:\alpha \! \left( \nu \right) = \frac{\partial \log S \! \left( \nu \right)}{\partial \log \nu}.

譜指數也可以用波長 \lambda來界定。在這種情況下，譜指數 \alpha由下式給定：
:S\propto\lambda^\alpha,
並且在給定的頻率上，譜指數可以由下式的計算導出：
:\alpha \! \left( \lambda \right) =\frac{\partial \log S \! \left( \lambda \right)}{\partial \log \lambda}.

通常習慣上會使用負號，因此譜指數成為
:S\propto\nu^{-\alpha}.

譜指數可以暗示其屬性。例如，使用正號呈現，在無線電的頻率譜指數從0到2指示是熱輻射，而不合理 (陡峭) 的負譜指數通常指示是同步輻射。

熱輻射的譜指數
在無線電頻率 (即在低頻，長波的限制)，其中瑞利-金斯定律是良好的近似於熱輻射的頻譜，強度可以表示為：
:B_\nu(T) \simeq \frac{2 \nu^2 k T}{c^2}.
考慮到兩側的對數，可以導出為\log \, \nu得到
:\frac{\partial \log B_\nu(T)}{\partial \log \nu} \simeq 2.
使用正號表示，在瑞利-金斯制度下的熱輻射譜指數因此是\alpha \simeq 2。在較短的波長下譜指數會偏離這個值，因此瑞利-金斯定律的近似值會變得越來越不準確，當強度達到維恩位移定律所給的頻率峰值時會趨近於零。因為在瑞利-金斯制度下簡化的溫度相關於輻射通量，電波譜指數被定義為：
:S \propto \nu^{\alpha} T.

參考資料