达布变换（Darboux Transformation）是1882年法国数学家达布发现的一种求偏微分方程精确显式解的变换法。达布变换在求KdV方程,MKdV方程，高维AKNS系统，sine-Gordon方程，sinh-Gordon方程，高阶Broer Kaup系统的精确解方面，有广泛用途。
1882年，达布研究一维薛定谔方程的特征值问题：
:-\partial^2_x\phi-u(x)\phi=\lambda \phi
他发现作一个变换：
:(u, \phi) \to (u', \phi')
其中
u'=u+2\partial^2_x(ln(f))
\phi'(x,\lambda)=\phi_x(x,\lambda)-\frac{f_x}{f}\phi(x,\lambda)
其中f(x)=\phi(x,\lambda_0)是\lambda=\lambda_0时一维薛定谔方程的解，
则当 f \neq 0时，u'和\phi'必定满足另一个相关的一维薛定谔方程：
:-\partial^2_x\phi'-u(x)\phi'=λ\phi'
达布变换也称为Bäcklund变换，其特点在于根据已知的一个解作为种子，经过变换之后，获得完全可积的新方程组，由此得出另一个新的解。。
KdV方程的达布变换
1977年Wahlquist等学者发现，达布变换也适用于KdV方程，从而将薛定谔方程的达布变换推广为KdV方程的达布变换
KdV方程：
:\partial_t\phi+\partial^3_x\phi+6\phi\partial_x\phi=0
是其LAX对的可积条件：
:-\partial^2_x\phi-u\phi=\lambda\phi
:\partial_t\phi=-4\partial^3_x\phi-6u\partial_x\phi-3\partial_xu\phi
经过达布变换(u,Φ)→(u',Φ')得到
:-\partial^2_x\phi'-u'\phi=\lambda\phi'
:\partial_t\phi'=-4\partial^3_x\phi'-6u'\partial_x\phi'-3\partial_xu'\phi'
因此，只要从LAX对求得一个解\phi，然后通过达布变换(u,Φ)→(u',Φ')就可以得到KdV方程的新解，还可以不断进行连锁式达布变换(u,Φ)→(u',Φ')→(u,Φ)→(u,Φ)……以得到KdV方程大量的解。。
伪球线汇
自对偶楊-米爾斯流
参考文献
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