在振动理论中，杜哈梅积分（Duhamel's integral）是求解线性系统在任意外载激励下响应的一种方法。
概要介绍
问题背景
受随时间变化的外载p(t)和粘性阻尼作用下的线性单自由度（SDF）系统的运动方程是一个二阶常微分方程，可写为
:m\frac + c\frac + kx(t) = p(t)
其中m为等效振子的质量，x代表系统振幅，t代表时间，c是粘性阻尼系数，k是系统刚度。
若初始静止于平衡位置的系统在t=0时刻受到一个单位冲击载荷作用，即p(t)是一个狄拉克δ函数δ(t)，x(0) = \left. {\frac} \right|_{t = 0} = 0，可以解得系统响应（称为单位脉冲响应函数）为
:h(t)=\begin{cases} \frac{1}e^{ - \varsigma \omega _n t} \sin \omega _d t, & t > 0 \\ 0, & t
其中\varsigma = \frac{c}称为系统的阻尼比，\omega _n是系统在无阻尼状态下振动的固有圆频率，\omega _d = \omega _n \sqrt {1 - \varsigma ^2 } 是系统在当前存在的阻尼c作用下的实际振动圆频率。推广到任意时刻τ时受到冲击载荷\delta (t - \tau )作用的脉冲响应为
:h(t - \tau ) = \frac{1}e^{ - \varsigma \omega _n (t - \tau )} \sin [\omega _d (t - \tau )]，t \ge \tau
结论导出
将任意载荷p(t)视为一系列脉冲激励的迭加：
:p(t) \approx \sum {p(\tau ) \cdot \Delta \tau \cdot \delta } (t - \tau )
那么根据线性性质可知，系统的响应同样可以表示成对这一系列脉冲激励的响应函数的迭加：
:x(t) \approx \sum {p(\tau ) \cdot \Delta \tau \cdot h} (t - \tau )
在\Delta \tau \to 0时，连续求和转化为积分，此时上面的等式是严格成立的
:x(t) = \int_0^t {p(\tau )h(t - \tau )d\tau }
将h(t-τ)的表达式代入即得杜哈梅积分的一般形式：
:x(t) = \frac{1}\int_0^t {p(\tau )e^{ - \varsigma \omega _n (t - \tau )} \sin [\omega _d (t - \tau )]d\tau }
参考文献
- 倪振华 编著，《振动力学》，西安交通大学出版社，西安，1990
- R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures, Mc-Graw Hill Inc., New York, 1975.（中文版：R.W.克拉夫，J.彭津 著，王光远等 译，《结构动力学》，科学出版社，北京，1981）
- Anil K. Chopra, Dynamics of Structures - Theory and applications to Earthquake Engineering, Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, Beijing, 2001
- Leonard Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, Mc-Graw Hill Inc., Singapore, 1986
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