在统计学与计量经济学所使用的时间序列分析中，自回归单整移动平均模型（ARIMA）和季节性ARIMA模型（SARIMA）分别是自回归移动平均模型（ARMA）向非平稳序列和周期性变化情形的推广。所有这些模型都是为了更好地理解时间序列并预测未来值而拟合的。这种推广的目的是使模型尽可能贴合数据。具体而言，ARMA模型假设序列具有平稳性，即其期望值不随时间变化。若序列存在趋势（但方差/自协方差保持恒定），可通过“差分”操作消除趋势， 得到平稳序列。这种操作实现了对ARMA模型的推广，对应着ARIMA中的“单整”（）部分。类似地，周期性变化可通过“季节性差分”操作消除。
组成部分
与ARMA模型类似，ARIMA中的“自回归”（）部分表示感兴趣的演进变量对其前期值进行回归；“移动平均”（）部分表示回归误差是同时期及过去不同时期误差项的线性组合；而“单整”（）部分表示数据值已被替换为当前值与前一值的差值（即通过差分操作消除趋势）。
根据，ARMA模型足以描述规则（亦称纯非确定性
若时间序列包含可预测子过程（亦称纯正弦或复值指数过程 当三个参数中有两个为0时，模型名称可根据非零参数简化，省略缩写中的“”、“”或“”。例如，{{tmath|\text{ARIMA} (1,0,0)}}可简称为，{{tmath|\text{ARIMA}(0,1,0)}}称为，{{tmath|\text{ARIMA}(0,0,1)}}称为 。
给定时间序列数据 Xt，其中 t 为整数索引且 Xt 为实数，则 \text{ARMA}(p',q) 模型可表示为：
:X_t-\alpha_1X_{t-1}- \dots -\alpha_{p'}X_{t-p'} = \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \cdots +\theta_q \varepsilon_{t-q},
或等价形式：
:
\left(
1 - \sum_{i=1}^{p'} \alpha_i L^i
\right) X_t
=
\left(
1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i
\right) \varepsilon_t \,
其中L为滞后算子，\alpha_i为模型自回归部分的参数，\theta_i为移动平均部分的参数，\varepsilon_t为误差项。通常假设误差项\varepsilon_t为独立同分布的随机变量，服从均值为0的正态分布。
若多项式\textstyle \left( 1 - \sum_{i=1}^{p'} \alpha_i L^i \right)存在一个重数为 d 的单位根（即因子(1-L)出现d次），则可将其重写为：
:
\left(
1 - \sum_{i=1}^{p'} \alpha_i L^i
\right)
=
\left(
1 - \sum_{i=1}^{p'-d} \varphi_i L^i
\right)
\left(
1 - L
\right)^d.
此时，ARIMA(p, d, q) 过程通过 p = p'−d 体现此多项式分解特性，其数学形式为：
:
\left( 1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i \right)
(1-L)^d X_t
= \left( 1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i \right) \varepsilon_t \,
该过程本质上是自回归多项式包含 d 个单位根的 ARMA(p+d, q) 过程。（这也是为何当 d > 0 时，严格符合ARIMA模型的过程不具有广义平稳性的原因。）
进一步推广后，模型形式为：
:
\left( 1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i\right)
(1-L)^d X_t = \delta + \left( 1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i \right) \varepsilon_t . \,
此时定义了一个具有漂移项 \frac{\delta}{1 - \sum \varphi_i} 的 ARIMA(p, d, q) 过程。
参见
- 自相关函数
- ARMA模型
- 有限冲激响应
- 无限冲激响应
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参考文献
延伸阅读
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- Shumway R.H. and Stoffer, D.S. (2017). Time Series Analysis and Its Applications: With R Examples. Springer. [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-52452-8 DOI: 10.1007/978-3-319-52452-8]
- [https://www.datacamp.com/courses/arima-models-in-r ARIMA Models in R] . Become an expert in fitting ARIMA (autoregressive integrated moving average) models to time series data using R.
外部链接
*[http://people.duke.edu/~rnau/411arim.htm Lecture notes on ARIMA models] by Robert Nau at Duke University
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