估计理论

估计理论是统计学和信号处理中的一个分支，主要是通过测量或经验数据来估计概率分布参数的数值。这些参数描述了实质情况或实际对象，它们能够回答估计函数提出的问题。

例如，估计投票人总体中，给特定候选人投票的人的比例。这个比例是一个不可观测的参数，因为投票人总体很大；估计值建立在投票者的一个小的随机采样上。

又如，雷达的目的是物体（飞机、船等）的定位。这种定位是通过分析收到的回声（回波）来实现的，定位提出的问题是“飞机在哪里？”为了回答这个问题，必须估计飞机到雷达之间的距离。如果雷达的绝对位置是已知的，那么飞机的绝对位置也是可以确定的。

在估计理论中，通常假定信息隐藏在包含雜訊的信号中。噪声增加了不确定性，如果没有不确定性，那么也就没有必要估计了。

使用估计理论的领域
有非常多的领域使用参数估计理论。这些领域包括（当然不局限于以下列出的领域）:

信号处理

** X射線斷層成像
** 脑电图
** 心电图
** 核磁共振
** 医学超声波扫描术
** 雷达、声纳、地震學——物件的定位
** 噪声方差
** 参数化（例如周期图和相关图谱）分析
** 非参数化（例如MUSIC、Root-MUSIC和ESPRIT）谱分析
** 维纳滤波
** 粒子滤波器

临床试验
民意调查
质量控制
通讯

** 信道参数
** DC增益（请看下边的例子）

控制理论

** 卡尔曼滤波
** 随时间改变的执行器（英文：）

网络入侵侦查系统

测量参数包含噪声或者其他不确定性。通过统计概率，可以求得最优化的解，用来从数据中提取尽可能多的信息。

估计过程
估计理论的全部目的都是获取一个估计函数，最好是一个可以实现的估计函数。估计函数输入测量数据，输出相应参数的估计。

我们通常希望估计函数能最优，一个最优的估计意味着所有的信息都被提取出来了；如果还有信息没有提取出来，那就意味着它不是最优的。

一般来说，求估计函数需要三步：

为了实现一个预测单个或者多个参数的所期望的估计器，首先需要确定系统的模型。这个模型需要将需要建模的过程以及不确定性和和噪声融合到一起，这个模型将描述参数应用领域的物理场景。
在确定模型之后，需要确定估计器的限制条件。这些限制条件可以通过如Cramér-Rao不等式这样的方法找到。
下一步，需要开发一个估计器或者应用一个已知的对于模型有效的估计器。这个估计器需要根据限制条件进行测试以确定它是否是最优估计器，如果是的话，它就是最好的估计器。
最后，在估计器上运行试验或者仿真以测试性能。

当实现一个估计器之后，实际的数据有可能证明推导出估计器的模型是不正确的，这样的话就需要重复上面的过程重新寻找估计器。不能实现的估计器需要抛弃，然后开始一个新的过程。总的来说，估计器根据实际测量的数据预测物理模型的参数。

基础
对于给定模型，估计器需要若干统计 "成分"才能实现。第一，统计样本从长度为 N 的（Random Variable，RV）中采样获得，观测值构成向量：

: \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x[0] \\ x[1] \\ \vdots \\ x[N-1] \end{bmatrix}.

第二，有 M 个参数：

: \boldsymbol{\theta} = \begin{bmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \\ \vdots \\ \theta_M \end{bmatrix},

它们的值需要被估计。第三，用于生成连续数据的概率密度函数（Probability density function，PDF）或离散数据的概率质量函数（Probability mass function，PMF）以参数值为条件（这些概率函数潜在存在），即条件概率为：

: p(\mathbf{x} | \boldsymbol{\theta}).\,

参数自身可能也存在概率分布（如贝叶斯统计），此时就需要定义贝叶斯概率：

: \pi( \boldsymbol{\theta}).\,

模型形成后，目标是估计参数，估计的参数通常表示为 \hat{\boldsymbol{\theta}}，其中 \hat{\cdot} 表示估计值。

常用的估计器包括最小均方误差（Minimum mean squared error，MMSE）估计器，它利用了估计参数和参数实际值之间的误差：

: \mathbf{e} = \hat{\boldsymbol{\theta}} - \boldsymbol{\theta}

作为优化的基础。该误差项平方的期望对MMSE估计器来说是最小的。

估计函数（估计子）
以下是一些相关的估计函数以及相关的主题
*最大似然估計（Maximum likelihood estimation，簡稱MLE）
*（Bayes estimator）
*矩估計（Method of moments estimators，簡稱MME）
*
*最小二乘法（Least squares）
*最小均方差（Minimum mean squared error，简称MMSE）
*最大后验概率（Maximum a posteriori probability，簡稱MAP）
*最小方差无偏估计（Minimum variance unbiased estimator，简称MVUE）
*（Nonlinear system identification）
*最佳线性非偏估计（BLUE）
*非偏估计，见偏差 (统计学)。
*粒子滤波器（Particle filter）
*马尔可夫链蒙特卡洛（Markov chain Monte Carlo，简称MCMC）
*卡尔曼滤波
*维纳滤波

例子：高斯白噪声中的直流增益
考虑由N个独立采样点构成的离散信号x[n]，它由常数A和零均值、方差为\sigma^2的[[加性高斯白噪声|加性高斯白噪声w[n]]]（即\mathcal{N}(0, \sigma^2)）构成。方差已知，未知参数为A。

信号的模型为：
: x[n] = A + w[n] \quad n=0, 1, \dots, N-1

参数A的两个可能的估计器是：

\hat{A}_1 = x[0]
\hat{A}_2 = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n]，即采样平均（Sample mean）

通过计算两个估计器的期望可以发现，它们的均值均为A：

:\mathrm{E}\left[\hat{A}_1\right] = \mathrm{E}\left[ x[0] \right] = A
和
:
\mathrm{E}\left[ \hat{A}_2 \right]
\mathrm{E}\left[ \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \right]
\frac{1}{N} \left[ \sum_{n=0}^{N-1} \mathrm{E}\left[ x[n] \right] \right]
\frac{1}{N} \left[ N A \right]
A

两个估计器的均值没有差异，然而它们的方差不同：

:\mathrm{var} \left( \hat{A}_1 \right) = \mathrm{var} \left( x[0] \right) = \sigma^2
和
:
\mathrm{var} \left( \hat{A}_2 \right)
\mathrm{var} \left( \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \right)
\frac{1}{N^2} \left[ \sum_{n=0}^{N-1} \mathrm{var}(x[n]) \right]
\frac{1}{N^2} \left[ N \sigma^2 \right]
\frac{\sigma^2}{N}

当N>1时，\mathrm{var} \left( \hat{A}_1 \right) ，所以似乎采样平均\hat{A}_2是一个更好的估计器。

最大似然估计
使用最大似然估计继续上面的例子，噪声在采样点w[n]上的概率密度函数（pdf）为：

:p(w[n]) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp\left(- \frac{1}{2 \sigma^2} w[n]^2 \right)

此时x[n]的概率为（x[n]服从分布\mathcal{N}(A, \sigma^2)）：

:p(x[n]; A) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp\left(- \frac{1}{2 \sigma^2}(x[n] - A)^2 \right)

由于相互独立，\mathbf{x}的概率为：

:
p(\mathbf{x}; A)
\prod_{n=0}^{N-1} p(x[n]; A)
\frac{1}{\left(\sigma \sqrt{2\pi}\right)^N}
\exp\left(- \frac{1}{2 \sigma^2} \sum_{n=0}^{N-1}(x[n] - A)^2 \right)

对上式取自然对数：

:
\ln p(\mathbf{x}; A)
=
-N \ln \left(\sigma \sqrt{2\pi}\right)

\frac{1}{2 \sigma^2} \sum_{n=0}^{N-1}(x[n] - A)^2

于是最大似然估计器为：

:\hat{A} = \arg \max \ln p(\mathbf{x}; A)

计算对数-最大似然函数的一阶导数：

:
\frac{\partial}{\partial A} \ln p(\mathbf{x}; A)
\frac{1}{\sigma^2} \left[ \sum_{n=0}^{N-1}(x[n] - A) \right]
\frac{1}{\sigma^2} \left[ \sum_{n=0}^{N-1}x[n] - N A \right]

令其为0：

:
0
\frac{1}{\sigma^2} \left[ \sum_{n=0}^{N-1}x[n] - N A \right]
\sum_{n=0}^{N-1}x[n] - N A

得到最大似然估计器：

:
\hat{A} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}x[n]

它是一个简单的采样平均。从这个例子中可以发现，被独立同分布的加性高斯白噪声污染的、由未知常数构成的N点信号的最大似然估计其就是采样平均。

Cramér-Rao下限
为了找到采样平均估计器的Cramér-Rao下限（CRLB），需要找到Fisher information数

:
\mathcal{I}(A)
=
\mathrm{E}
\left(
\left[
\frac{\partial}{\partial\theta} \ln p(\mathbf{x}; A)
\right]^2
\right)
=
-\mathrm{E}
\left[
\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} \ln p(\mathbf{x}; A)
\right]

从上面得到

:
\frac{\partial}{\partial A} \ln p(\mathbf{x}; A)
=
\frac{1}{\sigma^2} \left[ \sum_{n=0}^{N-1}x[n] - N A \right]

取二阶导数
:
\frac{\partial^2}{\partial A^2} \ln p(\mathbf{x}; A)
\frac{1}{\sigma^2}(- N)
\frac{-N}{\sigma^2}

发现负的期望值是无关紧要的（），因为它现在是一个确定的常数

-\mathrm{E}
\left[
\frac{\partial^2}{\partial A^2} \ln p(\mathbf{x}; A)
\right]
=
\frac{N}{\sigma^2}

最后，将Fisher information代入

:
\mathrm{var}\left( \hat{A} \right)
\geq
\frac{1}{\mathcal{I}}

得到

:
\mathrm{var}\left( \hat{A} \right)
\geq
\frac{\sigma^2}{N}

将这个值与前面确定的采样平均的变化比较显示对于所有的N和A来说采样平均都是等于Cramér-Rao下限。

采样平均除了是最大似然估计器之外还是最小变化无偏估计器（MVUE）。

这个直流增益 + WGN的例子是Kay的统计信号处理基础中一个例子的再现。

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