切比雪夫滤波器

切比雪夫滤波器（又译柴比雪夫滤波器，），也被稱為等漣波濾波器（equal ripple filter），是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。在通带波动的为“I型切比雪夫滤波器”，在阻带波动的为“II型切比雪夫滤波器”。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。

这种滤波器来自切比雪夫多项式，因此得名，用以纪念俄罗斯数学家巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫（Пафнутий Львович Чебышёв）。

特性
I型切比雪夫滤波器
I型切比雪夫滤波器最为常见。

n阶第一类切比雪夫滤波器的幅度与频率的关系可用下列公式表示：

:G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)}}

其中：

• |\epsilon|

*而|H(\omega_0)| = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}} 是滤波器在截止频率\omega_0的放大率

• T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) 是 n阶切比雪夫多项式：

切比雪夫多项式
:T_n (\Omega ) = \cos(n\cdot\arccos\ \Omega) ; 0 \le \Omega \le 1
:T_n (\Omega ) = \cosh(n\cdot (\mathrm{arccosh}\ \Omega )) ; \Omega > 1

其中 \Omega =\frac{\omega}{\omega_0}

或:

:T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = a_0 + a_1\frac{\omega}{\omega_0} + a_2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 +\, \cdots\, + a_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^n; 0 \le \omega \le \omega_0
:T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = \frac{
\left(\frac{\omega}{\omega_0}\sqrt{\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 - 1}\right)^n +
\left(\frac{\omega}{\omega_0}\sqrt{\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 - 1}\right)^{-n}
}{2} ; \omega > \omega_0

切比雪夫滤波器的阶数等于此滤波器的电子线路内独立的电抗元件（或元件组）数。

切比雪夫滤波器的幅度波动 = 20 \log_{10} \sqrt{1+\epsilon^2}分贝

当 \epsilon = 1,切比雪夫滤波器的幅度波动= 3分贝。

如果需要幅度在阻频带边上衰减得更陡峭，可允许在复平面的 j\omega轴上存在零点。但结果会使通频带内振幅波动较大，而在阻频带内对信号抑制较弱。 这种滤波器叫椭圆函数滤波器或考尔滤波器。

II型切比雪夫滤波器
也称倒数切比雪夫滤波器，较不常用，因为频率截止速度不如I型快，也需要用更多的电子元件。II型切比雪夫滤波器在通频带内没有幅度波动，只在阻频带内有幅度波动。

II型切比雪夫滤波器的转移函数为：

:\left | H(\omega ) \right | ^2 = \frac{1}{1+ \frac{1} {\epsilon^2 T_n ^2 \left ( \omega_0 / \omega \right )}}

参数 ε 与 阻频带的 衰减度 γ 有如下关系：

:\epsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{0.1\gamma}-1}} 分贝。

5分贝衰减度相当于ε = 0.6801; 10分贝衰减度相当于 ε = 0.3333。

截止频率 fC = ωC/2 π。

-3分贝频率fH 和截止频率 fC 有如下关系：

:f_H = f_C \cosh \left(\frac{1}{n} \cosh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right)

使用范围

• 如果需要快速衰减而允许通频带存在少许幅度波动，可用第一类切比雪夫滤波器；如果需要快速衰减而不允许通频带存在幅度波动，可用第二类切比雪夫滤波器。

与其他滤波器的比较
下图比较四种同阶低通滤波器：（左上）巴特沃斯滤波器、（右上）I型切比雪夫滤波器、（左下）II型切比雪夫滤波器（右下）椭圆函数滤波器。

两类切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器陡峭； 但不如椭圆函数滤波器，然而后者幅度波动较大。

参考

• 贝塞耳滤波器
• 巴特沃斯滤波器
• 梳状滤波器
• 椭圆函数滤波器

参考文献
*Rolf Schaumann,Haiqiao Xiao, Mac E.van Valkenburg, Analog Filter Design, 2nd Indian Edition, Oxford University Press, 2013
*Adel S. Sedra, Peter O. Brackett, Filter Theory and Design:Active and Passive, Matri Publishers Inc,1978