愛因斯坦-波多爾斯基-羅森弔詭（），簡稱「愛波羅弔詭」、「EPR弔詭」（）是阿爾伯特·愛因斯坦、鮑里斯·波多爾斯基和納森·羅森在1935年發表的一篇論文中，以弔詭的形式針對量子力学的哥本哈根詮釋而提出的早期重要批評。
在這篇題為《能認為量子力學對物理實在的描述是完全的嗎？》（，下稱「EPR論文」）的論文中，他們設計出一個思想實驗，稱為「EPR思想實驗」。藉著檢驗兩個量子糾纏粒子所呈現出的關聯性物理行為，EPR思想實驗凸顯出定域實在論與量子力學完備性之間的矛盾，因此，這論述被稱為「EPR弔詭」。
EPR論文並沒有質疑量子力學的正確性，它質疑的是量子力學的不完備性。EPR論文是建立於貌似合理的假設──定域論與實在論，合稱為定域實在論。定域論只允許在某區域發生的事件以不超過光速的傳遞方式影響其它區域。實在論主張，做實驗觀測到的現象是出自於某種物理實在，而這物理實在與觀測的動作無關。換句話說，定域論不允許鬼魅般的超距作用，實在論堅持，即使無人賞月，月亮依舊存在。將定域論與實在論合併在一起，定域實在論闡明，在某區域發生的事件不能立即影響在其它區域的物理實在，傳遞影響的速度必須被納入考量。
理論概述
根據量子力學的不確定性原理，對於微觀粒子做測量實驗，粒子的位置與動量不可同時被確定；假若越準確地知道粒子位置，則越不準確地知道粒子動量；反之亦然。愛因斯坦因此提問，不論有沒有對於粒子做測量試驗，粒子是否具有明確的位置？對於這問題，量子力學的哥本哈根詮釋表明，在測量之前，粒子的位置不具任何意義。EPR論文嘗試證明，粒子具有物理實在的要素，例如位置，因此量子力學不完備，量子力學無法在測量之前，明確預測粒子的位置。
#物理理論必須正確無誤。
#物理理論必須給出完備的描述。
對於第一個條件，物理理論到底是否正確無誤，決定於物理理論預測符合實驗檢驗結果的程度。在這方面，EPR論文並沒有給出任何評估，但至今為止，量子力學的預測與所有實驗檢驗結果之間，並沒有甚麼明顯的差別。量子力學似乎正確無誤。假設準確測量出粒子A的位置 x_A ，則由於粒子A與粒子B之間相隔很遠，測量粒子A不會攪擾到粒子B，粒子B的位置可以準確地預測為 x_B=-x_A （概率為1），因此，按照實在性判據，對於測量粒子B的位置，必定存在物理實在的要素 \rho_{x} 。在這裏，作者假設測量粒子A這動作遵守定域論，另外，由於存在物理實在的要素 \rho_{x} ，遵守實在論，粒子B的位置可以被預測。類似地，假設準確測量出粒子A的動量，則由於測量粒子A不會攪擾到粒子B，粒子B的動量可以準確地預測為 p_B=-p_A （概率為1），因此，按照實在性判據，對於測量粒子B的動量，必定存在物理實在的要素 \rho_{p} 。
EPR論文推論出 \rho_{x} 、\rho_{p} 都是物理實在的要素，都能夠分別預先決定粒子B的準確位置 x_B 、準確動量 p_B 。但是，這違背了量子力學的不確定性原理，因為位置算符與動量算符不對易，無法同時確定粒子B的位置與動量。因此，對於位置和動量，量子力學無法給出對應的理論要素。EPR論文斷言，量子力學對於物理實在的描述並不完備。EPR論文總結：
定域論與實在論，綜合為定域實在論。EPR作者藉著EPR思想實驗來指出定域實在論與量子力學完備性之間的矛盾，這論述就是所謂的「EPR弔詭」。他明确地淡化了 EPR 将“现实元素”归因于粒子 B 的位置和动量的说法，并表示“我根本不在乎”粒子 B 的结果状态是否允许人们确定地预测其位置和动量。 {{Efn|"Ob die \psi_B und \psi_\underline{B} als Eigenfunktionen von Observabeln B,\underline{B} aufgefasst werden können ist mir wurst>." Emphasis from the original. "Ist mir wurst" is a German expression that literally translates to "It is a sausage to me", but means "I couldn't care less". Letter from Einstein to Schrödinger, dated 19th June 1935.這個版本測量粒子的離散自旋沿著某特定軸的分量，不需要測量位置與動量這兩個連續變量。使用施特恩-格拉赫儀器，可以很容易的測量出粒子的自旋沿著磁場軸的分量。
假設一個零自旋中性π介子衰變成一個電子與一個正電子。這兩個衰變產物各自朝著相反方向移動。電子移動到區域A，在那裏的觀察者「愛麗絲」會觀測電子自旋沿著某特定軸的分量；正電子移動到區域B，在那裏的觀察者「鮑勃」也會觀測到正電子的相關性質。這兩個糾纏粒子共同形成了零自旋單態 \left|\psi\right\rang ，是兩個的疊加，以狄拉克標記表示為
: \left|\psi\right\rang = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg (\left|+z\right\rang \otimes \left|-z\right\rang -
\left|-z\right\rang \otimes \left|+z\right\rang \bigg) 。
在圓括弧內，稱第一個項目 \left|+z\right\rang \otimes \left|-z\right\rang 為直積態 I，是兩個量子態 \left|+z\right\rang 、 \left|-z\right\rang 的張量乘積，第二個項目 \left|-z\right\rang \otimes \left|+z\right\rang 為直積態 II ，是兩個量子態 \left|-z\right\rang 、 \left|+z\right\rang 的張量乘積。在直積態 I 裏，量子態為 \left|+z\right\rang 的電子，其自旋的z軸分量 S_z 為正值；量子態為 \left|-z\right\rang 的正電子，其 S_z 為負值。在直積態 II 裏，量子態為 \left|-z\right\rang 的電子，其 S_z 為負值；量子態為 \left|+z\right\rang 的正電子，其 S_z 為正值。但假若不做測量，則無法知道這兩個粒子中任何一個粒子的 S_z ；根據哥本哈根詮釋，這變量根本不存在。
: \left|\psi\right\rang = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg (\left|+u\right\rang \otimes \left|-u\right\rang -
\left|-u\right\rang \otimes \left|+u\right\rang \bigg) 。
這單態的兩個粒子相互反關聯，測量自旋延著u軸的分量 S_u ，假若電子的 S_u 為正值，則正電子的 S_u 為負值，假若電子的 S_u 為負值，則正電子的 S_u 為正值。量子力學不能預測到底是哪一組數值，但是量子力學可以預測，獲得任何一組數值的概率。
理論分析
EPR思想實驗主要是建立於兩個基本假設：。再換另一個角度來看，根據狹義相對論，信息傳遞速度不能超過光速，但是，根據，光速並不是上限，信息傳遞速度可以超過光速。而在速度低於光速的狀況，狹義相對論與洛伦兹相對論會給出同樣的物理。約翰·貝爾就曾隱約的提到這點子。洛伦兹相對論意味著乙太的存在，然而，乙太的存在尚待證實。
實在論
實在論表明，做實驗觀測到的現象是出自於某種物理實在，而這物理實在與觀測無關。假設做施特恩-格拉赫實驗測量一個自旋1/2粒子的 S_z ，獲得結果為 +\hbar/2 ，請問在測量之前短暫片刻內，粒子的 S_z 為何？實在派會說，答案是 +\hbar/2 。假若這答案正確，則可推斷，量子力學並不完備，因為量子力學無法給出這答案，雖然量子力學給出的答案都非常正確。實在派進一步猜測，是否有甚麼尚未發現的隱變量可以給出量子力學所不能給出的結果，促使量子力學變得完備無缺？不論是否被觀測，物體都具有其特定性質。他曾經對亞伯拉罕·派斯提出一個耐人尋味的問題：「月亮是否依舊存在，即使無人賞月？」
另外一派包括尼爾斯·玻爾在內的物理學者認為，在測量這粒子的 S_z 之前，這變量並不存在。這些物理學者屬於「正統派」，或「哥本哈根學派」。他們持有的「正統派」觀點是哥本哈根詮釋的一部分。按照這觀點，物理性質的客觀實在與觀測有關，不被觀測的物體不具有物理性質。
玻爾不贊同EPR思想實驗的結論，他所反對的不是其推論，而是其假設──定域實在論。
*隱變量理論：一種可能是，在生成時，它們的自旋沿著每一個參考軸就擁有明確的分量。
*波函數塌縮理論：另一種可能是，當測量電子的 S_u 時，波函數會塌縮為對應於u軸的兩個直積態 \left|+u\right\rang \otimes \left|-u\right\rang 或 \left|-u\right\rang \otimes \left|+u\right\rang 中的一個直積態，因此，正電子的 S_u 會被測量出相反的數值。
隱變量
EPR作者提議，雖然在很多實驗檢驗案例裏，量子力學都能預測出非常正確的實驗結果，實際而言，它是個不完備理論，換句話說，可能存在某種描述大自然、尚未被發現的完備理論，而量子力學扮演的是一種統計近似的角色，即量子力學是這完備理論的統計近似。與量子力學不同，這完備理論可以給出變量來對應於每一個實在要素，並且，必定有某種機制作用於這些變量，給出不相容可觀察量會觀測到的效應，即不確定性原理。這完備理論稱為隱變量理論。
為了說明這點子，舉一個簡單的隱變量理論案例。假設，粒子源發射出的量子零自旋單態，實際是近似描述擁有明確 S_z 、S_x 的「真實量子態」。在這些真實量子態裏，鮑勃對於正電子與愛麗斯對於電子的測量結果，其數值分別相反，除此特點以外，自旋分量完全隨機。例如，在粒子源發射出的第一對粒子裏，電子的真實量子態是 (z+, x-) 、正電子的真實量子態是 (z-, x+) ；在第二對粒子裏， 電子的真實量子態是 (z-, x-) 、正電子的真實量子態是 (z+, x+) ，像這樣模式，發射出很多對粒子。注意到，假若鮑勃測量的參考軸與愛麗斯相同，則兩者必定會測量到相反的自旋分量；另外，鮑勃會測量到正值或負值的概率分別為50%。物理學者還發覺，這論文所論述的並不只是隱變量，它還論述到一些並未真正執行測量的變量可能會擁有的測量結果。這種變量的存在稱為反事實確定性假設。
在貝爾論文發表之後，物理學者想出很多種實驗來檢試貝爾不等式，這些實驗一般都依賴測量光子偏振的機制。所有至今完成的實驗結果，都違背貝爾不等式，符合量子力學預測。雖然這些實驗結果並沒有證實量子力學具有完備性，貝爾定理似乎終結了定域實在論，必須違背定域論或違背實在論，或者同時違背兩者。這麼簡單與精致的理論導致出極為重要的量子力學結果，物理學者因此稱譽其為「意義最深遠的科學發現」。
量子导引
受薛定谔 1935 年对 EPR 佯谬的处理的启发， Howard M. Wiseman等人于 2007 年将此现象形式化并命名为量子导引（quantum steering）。 他们将“导引”定义为爱丽丝（Alice）对其持有的纠缠态的一部分的测量导引（steer）鲍勃所持有的那一部分的状态。也就是说，鲍勃的观察结果无法用局域隐态模型（local hidden state model）来解释，因为在该模型中，鲍勃一方本应拥有一个固定的量子态，该状态与爱丽丝一方（的状态）仅存在经典关联，而在其他方面是相互独立的。
影響與應用
EPR弔詭揭露了量子測量過程的基本非經典性質，從而推進了物理學者對於量子力學的了解。在EPR論文發表之前，測量時常被視為是一種物理攪擾，直接作用於被測量系統。例如，測量電子的位置可以想像為照射一束光波於電子，這會攪擾電子，造成電子動量的不確定性。在談述量子力學的科普文章裏，時常會遇見這類解釋。EPR弔詭指出這類解釋的錯誤之處，並且表明，測量一個粒子的性質，不需要直接攪擾這粒子，而可以改為測量在遙遠區域與這粒子相互糾纏的粒子。
數學表述
使用量子力學的自旋形式論，可以對EPRB弔詭做數學表述。表現電子、正電子自旋量子態的態向量分別存在於二維複向量空間 \mathbb{V} ，每一個量子態對應於一個二維向量。朝著 x 、y 、z 方向的自旋算符，分別標記為 S_x 、S_y 、S_z ，以包立矩陣表示為：
: S_x = \frac{\hbar}{2}
\begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}, \quad
S_y = \frac{\hbar}{2}
\begin{bmatrix} 0&-i\\i&0\end{bmatrix}, \quad
S_z = \frac{\hbar}{2}
\begin{bmatrix} 1&0\\0&-1\end{bmatrix}
；
其中，\hbar 是約化普朗克常數。
自旋算符 S_z 的本徵態表示為
:
\left|+z\right\rang = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \quad
\left|-z\right\rang = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}
。
自旋算符 S_x 的本徵態表示為
:
\left|+x\right\rang = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \quad
\left|-x\right\rang = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}
。
電子-正電子對的向量空間是 \mathbb{V} \otimes \mathbb{V} ，電子向量空間與正電子向量空間的張量積。自旋單態是
:
\left|\psi\right\rang = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg (\left|+z\right\rang \otimes \left|-z\right\rang -
\left|-z\right\rang \otimes \left|+z\right\rang \bigg)
；
其中，在圓括弧內，第一個項目 \left|+z\right\rang \otimes \left|-z\right\rang 為量子態 I ，第二個項目 \left|-z\right\rang \otimes \left|+z\right\rang 為量子態 II 。
這自旋單態也可寫為
:
\left|\psi\right\rang = \frac{-1}{\sqrt{2}} \bigg (\left|+x\right\rang \otimes \left|-x\right\rang -
\left|-x\right\rang \otimes \left|+x\right\rang \bigg)
；
其中，在圓括弧內，第一個項目、第二個項目分別為量子態 I 、量子態 II 。
若要說明定域實在論怎樣被違背，必須先顯示出在愛麗斯測量電子的 S_z 之後，鮑勃的正電子的 S_z 已被唯一地決定，因此對應於一個實在因素；同樣的道理，鮑勃的正電子的 S_x 也對應於一個實在因素。這是由量子測量原理導致。當愛麗斯測量電子的 S_z 時，整個量子態 |\psi\rang 塌縮成 S_z 的一個本徵態。假若測量結果為正值，則這意味著量子態 |\psi\rang 在測量之後立刻經歷一個正交投影至以下量子態空間：
: \left| +z \right\rangle \otimes \left| \phi\right\rangle \quad \phi \in \mathbb{V} 。
對於自旋單態，新量子態為
: \left| +z \right\rangle \otimes \left| -z \right\rangle 。
類似地，假若愛麗斯的測量結果為負值，則量子態 |\psi\rang 在測量之後立刻經歷一個正交投影至以下量子態空間：
: \left| -z \right\rangle \otimes \left| \phi\right\rangle \quad \phi \in \mathbb{V} 。
因此，新量子態為: \left|-z\right\rangle \otimes \left|+z\right\rangle 。
這意味著鮑勃測量正電子的 S_z 所得到的答案已被唯一地決定。對於第一個案例，答案是負值，對於第二個案例，答案是正值。
剩下來需要做的就是證明，在量子力學裏，S_x 、S_z 不能同時擁有明確值。這是因為兩個算符不對易：
:\left[S_x, S_z\right] = -i\hbar S_y \ne 0 。
它們必須遵守不確定性原理：
:
\left\lang (\Delta S_x) ^2 \right\rang \left\lang (\Delta S_z) ^2 \right\rang \ge
\frac{1}{4} \left|\left\lang \left[S_x, S_z\right] \right\rang\right|^2
。
歷史
首頁的頭條新聞標題。]]
在第五、六次索爾維會議，愛因斯坦分別提出兩個思想實驗，試圖凸顯不確定性原理為何不成立，從而質疑量子力學的正確性，然而，這兩次挑戰，都分別被玻爾成功駁回。愛因斯坦並不因此氣餒，雖然他開始接受量子力學的自洽性這事實，他仍舊認為量子力學不具有完備性。1935年，在普林斯頓高等研究院，他與博士後羅森、研究員波多爾斯基合作完成論文《物理實在的量子力學描述能否被認為是完備的？》並且發表於5月份的《物理評論》。
很快地，這篇論文在量子力學界掀起一陣強風巨浪，沃爾夫岡·包立特別寫信要求大師維爾納·海森堡立即發表聲明，讓其他物理學者不會因這篇論文而被困惑。海森堡後來撰寫了一篇草稿，但他並沒有將之發表，因為玻爾已經開始帶頭反駁了。他認為，「量子力學與相對論不相符合。」
1953年，英国物理学家大卫·玻姆同样认为哥本哈根诠释对物理实在的解释是不完备的，需要附加的参量来描述，他从而提出隐變量理论。1965年，北爱尔兰物理学家约翰·贝尔在此基础上提出贝尔不等式，这为隐變量理论提供了实验验证方法。从二十世纪七十年代至今，对贝尔不等式的验证给出的大多数结果是否定的。
1991年，在一場講座裏直截了當的表示，「EPR論文有誤。」在稍後討論時，EPR作者之一，羅森很有禮貌的承認，「該論文無誤，它做了一些假設，然後給出邏輯的總結；該假設有誤。」
參見
*莫特問題
*ER=EPR
註釋
參考文獻
注釋
外部連結
*
** 中文版由杜雪翻譯：[https://web.archive.org/web/20070927005920/http://www.myoops.org/twocw/NR/independent/20060730-01/einstein_tw.pdf 正體]、[https://web.archive.org/web/20070927005947/http://www.myoops.org/twocw/NR/independent/20060730-01/einstein_cn.pdf 簡體]，MIT OpenCourseWare。
- [https://web.archive.org/web/20080212121232/http://www.sciscape.org/articles/epr/ 沒有人看月亮時她是否還在那兒? --作者: 黃志偉]
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