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高斯光束

Wikipedia · 2025-12-09 维基百科 👁 1 阅读

在光学中，高斯光束（）是横向电场以及辐照度分布近似满足高斯函数的电磁波光束。许多激光都近似满足高斯光束的条件，在这种情况中，激光在光谐振腔中以TEM00波模（横向基模）传播。当它在满足近衍射极限的镜片中发生折射时，高斯光束会变换成另一种不同参数的高斯光束，因此，高斯光束是激光光学中一种方便、广泛应用的模型。

描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解（属于小角近似的一种）。这个解具有高斯函数的形式，代表了光束中电场分量的复振幅。尽管电磁波的传播包括电场和磁场两部分，研究其中任一个场，就足以描述波在传播时的性质。

高斯光束中，场的行为可以通过几个参数加以刻画，如光斑大小，曲率半径，古依相移等。

亥姆霍兹方程的近轴近似解可能不止一个。笛卡尔坐标系下求解可得一类称为厄米-高斯模的解，在柱坐标中求解则得到一类称为拉盖尔-高斯模的解。对这两类解，最低阶都是高斯光束，高阶解则描述了光学谐振腔中的高阶横向模。

数学形式
高斯光束作为电磁波的横向电磁模，通过求解近轴亥姆霍兹公式，可得电场的振幅

:E(r,z) = E_0 \frac{w_0}{w(z)} \exp \left( \frac{-r^2}{w^2(z)}\right) \exp \left( -ikz -ik \frac{r^2}{2R(z)} +i \zeta(z) \right)\ ,

这里
:r 为径向坐标，以光轴中心为参考点
:z 为轴向坐标，以光轴上光波最狭窄（束腰）位置为参考点
:i 为虚数单位（即 i^2 = -1）
: k = { 2 \pi \over \lambda } 为波数（以“弧度/米”为单位）
:E_0 = |E(0,0)|
:w(z) 为当电磁场振幅降到轴向的1/e、强度降到轴向的1/e2的点的半径
:w_0 = w(0) 为激光的束腰宽度
:R(z) 为光波波前的曲率半径
:\zeta(z) 为轴对称光波的 Gouy 相移，对高斯光束的相位也有影响

此外，上式中默认忽略了含时项 e^{i \omega t} 。

对应的辐照度时域平均值为

:I(r,z) = { |E(r,z)|^2 \over 2 \eta } = I_0 \left( \frac{w_0}{w(z)} \right)^2 \exp \left( \frac{-2r^2}{w^2(z)} \right)\ ,

这里 I_0 = I(0,0) 为光波束腰中心处的辐照度。常数 \eta \, 为光波所在传播介质中的。在真空中， \eta = \eta_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = 1/(\varepsilon_0 c) \approx 376.7 \ \mathrm{\Omega} 。

波束参数
高斯光束的许多性质由一系列波束参数决定，下面将分别予以介绍。
束腰
对于在自由空间传播的高斯光束，其位置的半径在光轴方向总大于一个最小值 w_0，这个最小值被称为束腰（beam waist）。波长为 \lambda 的光波的腰斑位置在 z 轴上的分布为

:w(z) = w_0 \, \sqrt{ 1+ {\left( \frac{z}{z_\mathrm{R}} \right)}^2 } \ .

这里将 z = 0 定义为束腰的位置。

:z_\mathrm{R} = \frac{\pi w_0^2}{\lambda}

被称为瑞利距离。

瑞利距离和共焦参数
与束腰轴向距离等于瑞利距离 z_R 处的束宽为

: w(\pm z_\mathrm{R}) = w_0 \sqrt{2}. \,

这两点之间的距离称作共焦参数或光束的焦深。

:b = 2 z_\mathrm{R} = \frac{2 \pi w_0^2}{\lambda}\ .

曲率半径
R(z) 是光束波前的曲率半径，它是轴向距离的函数

:R(z) = z \left[{ 1+ {\left( \frac{z_\mathrm{R}}{z} \right)}^2 } \right] \ .

光束偏移
当 z \gg z_\mathrm{R}，参数 w(z) 与 z 呈线性关系，趋近于一条直线。这条直线与中央光轴的夹角被称为光束的“偏移”，它等于

:\theta \simeq \frac{\lambda}{\pi w_0} \qquad (\theta \mathrm{\ in \ radians}).

在远离束腰的位置，光束弯散的总角度为

:\Theta = 2 \theta\ .

由于这一性质，聚焦于一个小点的高斯激光在远离这个点的传播过程中迅速散开。为了保持激光的准直，激光束必须具有较大的直径。束宽和光束偏移的这一关系是由于衍射的缘故。非高斯光束同样会表现这一效应，但是高斯光束是一种特殊情况，其束宽和偏移的乘积是可能达到的最小值。

由于高斯光束模型使用了近轴近似，当波前与光传播方向倾斜程度大于30度之后，这种模型将不再适用。通过上述偏移的表达式，这意味着高斯光束模型仅对束腰大于 2 \lambda / \pi 的光束适用。

激光束的质量可以用（BBP）来衡量。对于高斯光束，BBP 的数值就是光束的偏移量与束腰 w_0 的乘积。实际光束的 BPP 通过计算光束的最小直径和远场偏移量的乘积来获得。在波长一定的情况下，实际光束的 BPP 数值与理想激光束的 BPP 数值的比值被称为“M2”。高斯光束的 M2 值为1，而所有的是激光束的 M2 值均大于1，并且质量越好的激光的 M2 值越接近1。

Gouy 相位
光束的轴向上的相位延迟，或称 Gouy 相位为

:\zeta(z) = \arctan \left( \frac{z}{z_\mathrm{R}} \right) \ .

当光束通过焦点时，除了正常情况下平面波的相移 e^{-i k z} 外，多出一个额外的 Gouy 相移 \pi。

复数形式的光束参数
可以通过复数形式的光束参数 q(z) 囊括光斑尺寸与曲率半径的信息，

: q(z) = z + q_0 = z + iz_\mathrm{R} \ .

倒数 1/q(z) 显式提供了 q(z) ，w(z) 与 R(z) 间的关系：

{ 1 \over q(z) } = { 1 \over z + iz_\mathrm{R} } = { z \over z^2 + z_\mathrm{R}^2 } - i { z_\mathrm{R} \over z^2 + z_\mathrm{R}^2 } = {1 \over R(z) } - i { \lambda \over \pi w^2(z) }.

光束参数的复数形式在高斯光束传播的分析中有着重要地位，特别是当使用光线传递矩阵分析光谐振腔中光束传播。

利用复数光束参数 q，具有一个横向维度的高斯光束电磁场与下式成比例

:{u}(x,z) = \frac{1}{\sqrt{{q}_x(z)}} \exp\left(-i k \frac{x^2}{2 {q}_x(z)}\right).

在二维的情况中，可以将散光的光束表达为乘积的形式

:{u}(x,y,z) = {u}(x,z)\, {u}(y,z),

对于圆对称的普遍情况，{q}_x = {q}_y = {q} 且x^2 + y^2 = r^2，可以得出

:{u}(r,z) = \frac{1}{{q}(z)}\exp\left( -i k\frac{r^2}{2 {q}(z)}\right).

功率和辐照度
流经孔隙的功率
流经距离 z 轴半径为r的圆的功率为

: P(r,z) = P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]\ ,

这里

: P_0 = { 1 \over 2 } \pi I_0 w_0^2 为电磁波传播的总能量

流经以 r = w(z) \, 为半径的圆的能量占总能量的比值为

:{ P(z) \over P_0 } = 1 - e^{-2} \approx 0.865\ .

类似的，占光波总能量约90%的部分将流经半径为 r = 1.07\cdot w(z) \, 的圆形面积，总能量的95%通过 r = 1.224\cdot w(z) \, 的圆形面积，总能量的99%会通过 r = 1.52 \cdot w(z) 的圆。

辐照度的峰值和平均值
在与束腰的轴向距离为 z 的位置，利用洛必达法则，可以计算该位置的辐射照度峰值

:I(0,z) =\lim_{r\to 0} \frac {P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {\pi r^2}
= \frac{P_0}{\pi} \lim_{r\to 0} \frac { \left[ -(-2)(2r) e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {w^2(z)(2r)}
= {2P_0 \over \pi w^2(z)}.

可以看出，辐照度峰值为平均值的两倍，后者等于总能量除以半径为 w(z) 的圆的面积。

相關條目
*平頂光束
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参考文献

  • Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107.
  • Chapter 5, "Optical Beams," pp. 267.
  • Chapter 16.

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