控制體積

控制體積是流體力學及熱力學中，為一物理現象建立數學模型時會用到的一個名詞。在慣性參考系中，控制體積可能是一固定的區域，或者是隨著流體運動。控制體積的表面也稱為控制表面。

穩態時，控制體積可以視為一個其中流體體積為定值的任意空間。流體可能會流進或流出控制體積，但流入控制體積的流體質量等於流出控制體積的流體質量。在穩態且沒有功或能量的交換，控制體積內的能量也是一個定值。控制體積的概念類似古典力學的自由體圖。
簡介
一般來說，若要了解科學定律在特定系統下的作用，可以先應用在小的控制體積內。控制體積本身沒有特別之處，只是系統的一小部份，讓物理定律可以應用的範圍。這就產生了體積相關的數學公式。

科学规律在控制空間內依一定的方式運作，因為控制空間沒有特別之處，因此可以假設科学规律在系統的其他空間也會以相同方式運作。可以發展数学模型對應單點公式，描述科學規律在整個系統內的行為

在连续介质力学中，守恒定律（例如纳维-斯托克斯方程）是以積分形式出現，因此可以適用在所有的體積裡。尋找獨立於控制空間的方程式，有助於簡化積分的符號。控制空間可以是靜止的，也可以依特定速度移動。
物質導數
连续介质力学的運算中，常需要將時間导数運算子
d/dt\;
改為物質導數運算子
D/Dt.
可以用下例來說明。

假設有小蟲和控制體積一起移動，其中有隨時間和位置而變化的纯量场（例如壓力）：
p=p(t,x,y,z)\;.

若小蟲在
t\;
到
t+dt\;
的時間區間內，從位置
(x,y,z)\;
移動到位置
(x+dx, y+dy, z+dz),\;
，則小蟲感受到的壓力變化為
:dp = \frac{\partial p}{\partial t}dt

• \frac{\partial p}{\partial x}dx
• \frac{\partial p}{\partial y}dy
• \frac{\partial p}{\partial z}dz

（全微分）。若小蟲移動的速度如下
\mathbf v = (v_x, v_y, v_z),
位置的變化可以表示為
\mathbf v dt = (v_xdt, v_ydt, v_zdt),
因此壓力變化可以表示如下
:\begin{alignat}{2}
dp &
= \frac{\partial p}{\partial t}dt

• \frac{\partial p}{\partial x}v_xdt
• \frac{\partial p}{\partial y}v_ydt
• \frac{\partial p}{\partial z}v_zdt \\ &

= \left(
\frac{\partial p}{\partial t}

• \frac{\partial p}{\partial x}v_x
• \frac{\partial p}{\partial y}v_y
• \frac{\partial p}{\partial z}v_z

\right)dt \\ &
= \left(
\frac{\partial p}{\partial t}

• \mathbf v \cdot\nabla p

\right)dt. \\
\end{alignat}

其中\nabla p是向量場p的gradient。因此

:\frac{d}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf v \cdot\nabla.

若小蟲是和流場一起移動，上述的公式仍適用，不過速度向量v會改為流速向量u。

在壓力變化的公式中，最後一個括弧內的公式即為壓力純量的物質導數。

因為壓力p是任意的純量場，因此物質導數運算子可以如下式表示：
\frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf u \cdot\nabla.

相關條目
*纳维－斯托克斯方程
*狭义相对论
*流体力学

參考資料